Enunciado

Obtenha uma equação geral do plano que contém o ponto P e a reta r .

b) P = 1 ,   0 ,   - 1 ,   r : x - 1 2 = y 3 = 2 - z

Passo 1

Como o plano contém a reta r , um dos seus vetores diretores é ( 2 ,   3 ,   - 1 ) , ou seja, o vetor diretor da reta, certo?

Outro vetor diretor do plano vai ser o vetor que liga A = ( 1 ,   0 ,   2 ) , ponto da reta, com o ponto P = ( 1 ,   0 ,   - 1 ) , que também sabemos que faz parte do plano. Assim:

A P → = P - A = ( 0 ,   0 ,   - 3 )

Passo 2

O vetor normal do plano que queremos vai ser o produto vetorial dos vetores diretores do plano, ou seja:

2 ,   3 ,   - 1 ∧ 0 ,   0 ,   - 3 = ( - 9 ,   6 ,   0 )

Lembrando: se você trocar a ordem dos vetores no produto vetorial, apenas mudaremos o sentido do vetor normal, mas a direção é a mesma então a resposta continua correta ok?

Então, a equação do plano pode ser escrita assim:

- 9 x + 6 y + 0 z + d = 0

Substituindo o ponto ( 1 ,   0 ,   2 ) , que faz parte do plano, podemos encontrar d :

- 9 . 1 + 6 . 0 + d = 0

d = 9

Então, a equação geral do plano é

- 9 x + 6 y + 9 = 0

Dividindo tudo por 3:

- 3 x + 2 y + 3 = 0

Resposta

b) - 3 x + 2 y + 3 = 0

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Encontre as equações da reta que passa pelo ponto Q = (1, 2, 1) e é perpendicular ao planox – y + 2z – 1 = 0
Dados os planos π 1 : x - y + z + 1 = 0 e π 2 : x + y - z - 1 = 0 , determine o plano que contém π 1 ∩ π 2 e é ortogonal ao vetor (-1, 1, -1).
Considere as retas (x, y, z) = t(1, 2, -3) e (x, y, z) = (0, 1, 2) + s(2, 4, -6). Encontre a equação geral do plano que contém estas duas retas.
Seja r a reta determinada pela interseção dos planos x + y – z = 0 e 2x – y + 3z – 1 = 0. Ache a equação do plano que passa por A = (1, 0, -1) e contém a reta r.
Ache as equações da reta que passa pelo ponto P = (1, 0, 1) e é paralela aos planos 2x + 3y + z +1 = 0 e x – y + z = 0