Enunciado

Seja r a reta determinada pela interseção dos planos x + y – z = 0 e 2x – y + 3z – 1 = 0. Ache a equação do plano que passa por A = (1, 0, -1) e contém a reta r.

Passo 1

Podemos reescrever as equações dos planos de forma que:

x + y – z = 0

2x – y + 3z = 1

Montando um sistema com as duas equações:

x + y - z = 0 2 x - y + 3 z =   1

Transformando em matriz e escalonando:

1 1 - 1 2 - 1 3 0 1 → 1 1 - 1 0 - 3 5 0 1 → 1 1 - 1 0 1 - 5 3 0 - 1 3 → 1 0 2 3 0 1 - 5 3 1 3 - 1 3

Ou seja:

x + 2 3 z = 1 3 y - 5 3 z =   - 1 3

X = 1 3 - 2 3 z - 1 3 + 5 3 z z

Passo 2

Com base no resultado encontrado, podemos assumir uma reta na interseção dos planos de equação r: (x, y, z) = ( 1 3 - 2 3 t ,   - 1 3 + 5 3 t ,   t ) .

Essa reta possui vetor diretor V = ( - 2 3 ,   5 3 ,   1 ) e passa pelo ponto P = ( 1 3 ,   - 1 3 ,   0 ) . Nesse sentido, o ponto P está incluso não somente na reta r, como também no plano desejado, por isso, podemos dizer que A P → é um vetor presente no plano desejado.

A P → = ( - 2 3 ,   - 1 3 , 1 )

Passo 3

Dado que V e A P → são vetores contidos no plano, podemos achar o vetor normal ao plano desejado a partir do produto vetorial de V e A P → :

n → = A P → ×   V

n → = det i j k - 2 3 - 1 3 1 - 2 3 5 3 1

Realizando a conta do determinante:

n → = - 1 3 i - 2 3 j - 10 9 k – 2 9 k +   2 3 j - 5 3 i

n → = -2i + 0j - 4 3 k

A equação cartesiana do plano é dada por:

ax + by + cz + d = 0

Substituindo os valores encontrados no vetor normal por a, b e c:

-2x - 4 3 z + d = 0

Para descobrirmos o valor de d, podemos substituir o ponto inicial de r na equação do plano, tal que:

P = ( 1 3 ,   - 1 3 ,   0 )

-2x - 4 3 z + d = 0

-2( 1 3 ) - 4 3 (0) + d = 0

d = 2 3

Resposta

-2x - 4 3 z + 2 3 = 0

Que é equivalente a:

6x +4z - 2 = 0

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