Enunciado

Considere as retas (x, y, z) = t(1, 2, -3) e (x, y, z) = (0, 1, 2) + s(2, 4, -6). Encontre a equação geral do plano que contém estas duas retas.

Passo 1

Primeiro, vamos reorganizar as equações das retas de forma a torna-las de mais fácil compreensão:

(x, y, z) = t(1, 2, -3) pode ser reescrita como (x, y, z) = (t, 2t, -3t)

(x, y, z) = (0, 1, 2) + s(2, 4, -6) pode ser reescrita como (x, y, z) = (2s, 1+4s, 2-6s)

Passo 2

Com base nas equações das retas, podemos descobrir seus pontos iniciais e seus vetores diretores:

P t = 0 ,   0 ,   0 e V t = 1 ,   2 ,   - 3

P s = 0 ,   1 ,   2 e V s = 2 ,   4 ,   - 6

Realizando o produto vetorial de V t e V s , podemos encontrar o vetor normal ao plano desejado:

n → =   V t × V s

n → = det i j k 1 2 - 3 2 4 - 6

Realizando a conta do determinante:

n → = – 12i – 6j + 4k – 4k + 6j + 12i

n → = 0i + 0j + 0k

O que mostra que as retas dadas na questão são paralelas.

Passo 3

Para podermos encontrar a equação do plano, nesse caso, vamos montar uma matriz com V t e P s e calcular o determinante:

det x y z 1 2 - 3 0 1 2 = 4 x + 0 y + z + 0 z - 2 y + 3 x = 7 x - 2 y + z

Assim, a equação do plano pode ser dada por:

7 x - 2 y + z = 0

Resposta

7 x - 2 y + z = 0

Exercícios de Livros Relacionados

Seja o paralelepípedo de dimensões 2 , 3 e 4 , representado a seguir. Determinar a equação do plano que contém a face ABCD
Seja o paralelepípedo de dimensões 2 , 3 e 4 , representado a seguir. Determinar as equações da reta que contém o segmento AB
Mostre que a reta r : {(x - 1)/(1) = (y + 1)/(- 2) ; z = 0) está contida no plano pi : 2 x + y - 3 z - 1 = 0 .
Seja o paralelepípedo de dimensões 2 , 3 e 4 , representado a seguir. Determinar as equações da reta que passa pelos pontos O e F
Mostre que a reta r : {[[x = 3 t + 1],[y = - 2 t - 1],[z = t]]) é paralela ao plano pi : x + 2 y + z + 3 = 0 .