Enunciado

Obtenha uma equação geral do plano que contém os pontos P = 1,1 , - 1 e Q = 1,2 , 1 e tangencia a superfície esférica S : x 2 + y 2 + z 2 - 4 x - 2 y - 4 z + 8 = 0 .

Passo 1

Para resolvermos esta questão, precisamos obter algumas relações entre as variáveis da equação genérica do plano π : a x + b y + c z + d = 0 . Isto, precisamos reduzir o número de variáveis deste plano.

Para isto, vamos utilizar os dois pontos dados. Como eles pertencem ao plano, eles satisfazem a sua equação. Então, vamos pegar os pontos, substituir na equação do plano e assim reduzir o número de variáveis.

Desta forma, substituindo na equação do plano π , obtemos o seguinte sistema:

a + b - c + d = 0 a + 2 b + c + d = 0

Subtraindo a segunda equação da primeira, obteremos:

a + b - c + d = 0 b + 2 c = 0

Da segunda equação obtemos que b = - 2 c . Substituindo na primeira, teremos:

a - 2 c - c + d = 0

a - 3 c + d = 0

d = - a + 3 c

Portanto, o nosso plano π é dado por:

π : a x + b y + c z + d = 0

π : a x - 2 c y + c z - a + 3 c = 0

Agora sim, já conseguimos trabalhar com o nosso plano. Nosso trabalho agora é descobrir quais valores de a e c que satisfazem a condição do plano π ser tangente a superfície.

Passo 2

Vamos agora colocar a nossa superfície esférica na sua forma reduzida para obtermos o seu centro e raio. Portanto,

S : x 2 + y 2 + z 2 - 4 x - 2 y - 4 z + 8 = 0

S : x 2 - 4 x + y 2 - 2 y + z 2 - 4 z + 8 = 0

S : x 2 - 4 x + 4 - 4 + y 2 - 2 y + 1 - 1 + z 2 - 4 z + 4 - 4 + 8 = 0

S : x - 2 2 + y - 1 2 + z - 2 2 - 1 = 0

S : x - 2 2 + y - 1 2 + z - 2 2 = 1 2

E para que esta relação seja satisfeita, sabemos automaticamente que, seja C = 2 , 1 , 2 o centro da nossa superfície esférica e ρ = 1 seu raio, temos:

d C , π = ρ = 1

Basta resolvermos esta equação acima.

Passo 3

Para resolvermos a relação descrita no passo 1, vamos ter de calcular a distância do centro da superfície até o plano π . Portanto,

d C , π = a 2 - 2 c 1 + c 2 - a + 3 c a 2 + - 2 c 2 + c 2

d C , π = 2 a - 2 c + 2 c - a + 3 c a 2 + 4 c 2 + c 2

d C , π = a + 3 c a 2 + 5 c 2

Agora, só resolvermos a seguinte equação:

d C , π = 1

Ou também, para facilitarmos as nossas vidas e retirarmos a raiz e o módulo, vamos elevar ao quadrado. Logo,

d C , π 2 = 1 2

a + 3 c a 2 + 5 c 2 2 = 1 2

a 2 + 6 a c + 9 c 2 a 2 + 5 c 2 = 1

a 2 + 6 a c + 9 c 2 = a 2 + 5 c 2

6 a c + 4 c 2 = 0

2 c 3 a + 2 c = 0

Portanto, temos duas soluções. Ou c = 0 ou a = - 2 c / 3 .

Para a primeira solução, teremos o seguinte plano.

π : a x - 2 c y + c z - a + 3 c = 0

π 1 : a x - a = 0

Colocando o a em evidência e passando dividindo para o segundo membro, pois ele é diferente de zero, obtemos:

π 1 : x - 1 = 0

Já para a segunda solução, teremos o seguinte plano.

π 2 : a x - 2 c y + c z - a + 3 c = 0

π 2 : - 2 c 3 x - 2 c y + c z + 2 c 3 + 3 c = 0

π 2 : - 2 c 3 x - 2 c y + c z + 11 c 3 = 0

Colocando o c em evidência e passando dividindo para o segundo membro, pois ele é diferente de zero, obtemos:

π 2 : - 2 3 x - 2 y + z + 11 3 = 0

π 2 : - 2 x - 6 y + 3 z + 11 = 0

Resposta

π 1 : x - 1 = 0

π 2 : - 2 x - 6 y + 3 z + 11 = 0

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