Enunciado

Obtenha, em cada caso, uma equação do plano que contém a reta r e é tangente à superfície esférica S . Interprete os resultados.

  1. r : x + 6 2 = y + 3 = z + 1 S : x 2 + y 2 + z 2 - 4 x + 2 y - 4 z + 4 = 0
  2. r : X = 4,1 , 1 + λ 4,3 , 1 S : x 2 + y 2 + z 2 - 2 x + 6 y + 2 z + 8 = 0

Passo 1

Para resolvermos esta questão, precisamos obter algumas relações entre as variáveis da equação genérica do plano π : a x + b y + c z + d = 0 . Isto, precisamos reduzir o número de variáveis deste plano.

Para isto, vamos utilizar a reta r . Como o plano contém a reta, significa que os pontos da reta pertencem ao plano. Vamos então pegar dois pontos da reta, substituir na equação do plano e assim reduzir o número de variáveis.

Da equação da reta, vamos escolher arbitrariamente os pontos A = - 6 , - 3 , - 1 e B = 0,0 , 2 . Substituindo na equação do plano π , obtemos o seguinte sistema:

- 6 a - 3 b - c + d = 0 2 c + d = 0

Da segunda equação obtemos que d = - 2 c . Substituindo na primeira, teremos:

- 6 a - 3 b - c - 2 c = 0

- 6 a - 3 b - 3 c = 0

c = - 2 a - b

Portanto, o nosso plano π é dado por:

π : a x + b y + c z + d = 0

π : a x + b y + - 2 a - b z - 2 c = 0

π : a x + b y - 2 a + b z + 4 a + 2 b = 0

Agora sim, já conseguimos trabalhar com o nosso plano. Nosso trabalho agora é descobrir quais valores de a e b que satisfazem a condição do plano π ser tangente a superfície.

Passo 2

Vamos agora colocar a nossa superfície esférica na sua forma reduzida para obtermos o seu centro e raio. Portanto,

S : x 2 + y 2 + z 2 - 4 x + 2 y - 4 z + 4 = 0

S : x 2 - 4 x + y 2 + 2 y + z 2 - 4 z + 4 = 0

S : x 2 - 4 x + 4 - 4 + y 2 + 2 y + 1 - 1 + z 2 - 4 z + 4 - 4 + 4 = 0

S : x - 2 2 + y + 1 2 + z - 2 2 - 5 = 0

S : x - 2 2 + y + 1 2 + z - 2 2 = 5 2

E para que esta relação seja satisfeita, sabemos automaticamente que, seja C = 2 , - 1 , 2 o centro da nossa superfície esférica e ρ = 5 seu raio, temos:

d C , π = ρ = 5

Basta resolvermos esta equação acima.

Passo 3

Para resolvermos a relação descrita no passo 1, vamos ter de calcular a distância do centro da superfície até o plano π . Portanto,

d C , π = a 2 + b - 1 - 2 a + b 2 + 4 a + 2 b a 2 + b 2 + - 2 a - b 2

d C , π = 2 a - b - 4 a - 2 b + 4 a + 2 b a 2 + b 2 + 4 a 2 + 4 a b + b 2

d C , π = 2 a - b 5 a 2 + 4 a b + 2 b 2

Agora, só resolvermos a seguinte equação:

d C , π = 5

Ou também, para facilitarmos as nossas vidas e retirarmos a raiz e o módulo, vamos elevar ao quadrado. Logo,

d C , π 2 = 5 2

2 a - b 5 a 2 + 4 a b + 2 b 2 2 = 5 2

4 a 2 - 4 a b + b 2 5 a 2 + 4 a b + 2 b 2 = 5

4 a 2 - 4 a b + b 2 = 5 5 a 2 + 4 a b + 2 b 2

4 a 2 - 4 a b + b 2 = 25 a 2 + 20 a b + 10 b 2

21 a 2 + 24 a b + 9 b 2 = 0

7 a 2 + 8 a b + 3 b 2 = 0

Para resolvermos esta equação, vamos considerar a como nossa variável x . Todo o resto será uma constante. Portanto, seria algo do tipo:

7 a 2 + 8 b a + 3 b 2 = 0

Se calcularmos o Δ desta equação, temos:

Δ = 64 b 2 - 28 3 b 2 = - 20 b 2

Eita! Automaticamente, o delta é menor do que zero! Logo, não há raiz real, o que implica em não ter solução!

Não existe plano que satisfaça a relação desejada!!!!!

OBS: pode-se verificar também que não existe plano ao perceber que a reta r é secante à superfície S !

Resposta

Não existe plano que satisfaça a relação!

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