Enunciado

Obtenha uma equação geral do plano que contém a reta r e forma ângulo de θ radianos com s .

(a) cos ⁡ θ = 1 / 9 s : y + 2 z = 4 = x + y + 5 r : X = 2,0 , 3 + λ 1 , 1 , 1

Passo 1

Antes de mais nada, vamos melhorar a equação daquela reta s , que está na forma planar:

y + 2 z = 4 = x + y + 5

A gente pode separar isso em duas equações:

y + 2 z = 4 x + y + 5 = 4

E cada uma dessas equações de tá um plano, que podemos escrever na forma paramétrica:

y + 2 z = 4         ⇒           x = a y = 4 - 2 b z = b

Ou seja, deixamos x e z livres, iguais a dois parâmetros a e b . Então esse plano (vamos chamar de π 1 ) é:

π 1 :           a , 4 - 2 b , b

Fazendo a mesma cosa para a segunda equação:

x + y + 5 = 4         ⇒           x = c y = - 1 - c z = d

E então:

π 2 :           c   ,   - 1 - c   ,   d

E a nossa reta s é a interseção desses dois planos.

Passo 2

Para encontrar essa equação, vamos igualar π 1 e π 2 :

  c   ,   - 1 - c   ,   d =     a , 4 - 2 b , b

Isso dá um sistema de três equações:

a = c - 1 - c = 4 - 2 b d = b

Como são três equações e quatro incógnitas, vamos ter um grau de liberdade. A gente pode, por exemplo, escrever todas as variáveis em função de d .

Então, pela terceira equação:

b = d

Substituindo isso na segunda:

- 1 - c = 4 - 2 d

c = 2 d - 5

E substituindo isso na terceira:

a = c = 2 d - 5

Beleza, agora é só jogar esses resultados em uma das equações de plano. Vamos pegar   π 1 , por exemplo:

a ,     4 - 2 b ,     b

Substituindo tudo em função de d :

2 d - 5 ,     4 - 2 d ,     d

E então a equação vetorial da reta s é:

s :           S = - 5 ,   4,0 + d 2 , - 2,1

Mas o que realmente importa aqui é o vetor diretor da reta s :

s → = 2 , - 2,1

Ok, vamos em frente.

Passo 3

Vamos supor que o vetor normal ao plano seja:

n → = a , b , c

Se a nossa reta r está contida no plano, então ela tem que ser normal a esse vetor, certo?

Isso quer dizer que o produto interno do vetor diretor r → e n → tem que ser nulo:

r → ∙ n → = 0

O vetor r → já foi dado no enunciado, então:

1,1 , 1 ∙ a , b , c = 0

1 a + 1 b + 1 c = 0

a + b + c = 0

Ok, essa é nossa primeira equação.

Passo 4

Agora vamos lembrar da equação para o ângulo entre a reta e o plano.

Se a reta tem vetor diretor s → e o plano tem vetor normal n → , o ângulo θ entre eles é:

sen ⁡ θ = n → ∙ s → n → s →

Substituindo com as expressões:

sen ⁡ θ = a , b , c ∙ 2 , - 2,1 a 2 + b 2 + c 2   2 2 + - 2 2 + 1 2

sen ⁡ θ = 2 a - 2 b + c a 2 + b 2 + c 2   9

sen ⁡ θ = 1 3   2 a - 2 b + c a 2 + b 2 + c 2  

E vamos encontrar o seno do ângulo a partir do cosseno:

sen ⁡ θ = 1 - cos 2 ⁡ θ

sen ⁡ θ = 1 - 1 9 2 = 81 81 - 1 81 = 80 9

Vamos chamar esse valor de A , que é uma constante, só para facilitar a conta:

A = 1 3 2 a - 2 b + c a 2 + b 2 + c 2  

E além dessa, temos a outra equação lá de cima:

a + b + c = 0

Passo 5

Agora temos que fazer um pequeno salto. A nossa ideia é, depois que encontrarmos a ,   b e c , que são as coordenadas do vetor normal ao plano, nós vamos ter a equação do plano:

a x + b y + c z = d

Mas como nós só temos duas equações e três variáveis:

A = 1 3 2 a - 2 b + c a 2 + b 2 + c 2  

a + b + c = 0

Poderíamos ter um problema aí. Mas nós podemos fazer uma escolha arbitrária:

a = 1

Isso só vai fixas o sinal e o comprimento do vetor normal, que não são relevantes para definir o plano! A direção, que é só o que importa aqui, não é fixada fazendo essa escolha.

Mas então tá, se a = 1 , então:

1 + b + c = 0

c = - b - 1

Então vamos deixar tudo em função de b . Substituindo ali em cima:

3 A = 2 - 2 b + - b - 1 1 2 + b 2 + - b - 1 2  

3 A = 1 - 3 b 1 2 + b 2 + - b - 1 2  

3 A b 2 + b + 1 = 1 - 3 b

Elevando tudo ao quadrado:

9 A 2 b 2 + b + 1 = 1 - 6 b + 9 b 2

9 A 2 - 9 b 2 + 9 A 2 + 6 b + 9 A 2 - 1 = 0

Passo 6

Isso é uma equação de segundo grau em b . Para saber se ela tem solução, vamos olhar para o Δ da equação:

Δ = 9 A 2 + 6 2 - 4 9 A 2 - 9 9 A 2 - 1

Lembrando da nossa expressão para A :

A = 80 9         ⇒         9 A 2 = 80

Ou seja:

Δ = 80 + 6 2 - 4 80 - 9 80 - 1

Δ = 86 2 - 4 71 79

Aqui você nem precisa fazer a conta pra perceber que esse número é negativo! Então:

Δ < 0

E a equação não tem raiz real! Isso quer dizer que nenhum plano satisfaz a nossa condição!

Resposta

Não existe nenhum plano que satisfaça essas condições.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Dados A = (0, 2, 1), r: X = (0, 2, -2) + t(1, -1, 2), ache os pontos de r que distam 3 de A. A distância do ponto A à reta r é maior, menor ou igual à 3 ? Por que?
Dada a reta r: X = (1, 0, 0) + t(1, 1, 1) e os pontos A = (1, 1, 1) e B = (0, 0, 1), ache o ponto de r equidistante de A e B.
Seja r 1 a reta que passa pelos pontos A = (1, 0, 0) e B = (0, 2, 0) e r 2 a reta: x - 2 = y - 3 2 = z - 4 3 Encontre as equações da reta perpendicular às retas r 1 e r 2 .
Encontre o ângulo entre o plano 2x – y + z = 0 e o plano que passa pelo ponto P = (1, 2, 3) e é perpendicular ao vetor i → - 2 j → + k → .
Seja π o plano que passa pela origem e é perpendicular à reta que une os pontos A = (1, 0, 0) e B = (0, 1, 0). Encontre a distância do ponto C = (1, 0, 1) ao plano π .