Enunciado

Obtenha uma equação geral do plano π, que contém a reta:

r :   x - 2 y + 2 z = 0 3 x - 5 y + 7 z = 0

e forma com o plano π 1 : x + z = 0 um angulo de 60 ° .

Passo 1

Opa! Tudo joia?

A reta em questão é interseção dos dois planos. Logo, ela é perpendicular aos seus vetores normais.

Vamos começar fazendo o produto vetorial entre os vetores 1 , - 2,2 e   ( 3 , - 5,7 ) .

i j k 1 - 2 2 3 - 5 7 =   - 4 i - 1 j + 1 k

Esse vetor, V → = ( - 4 , - 1,1 ) é paralelo ao plano que queremos.

Passo 2

Sendo N = ( a , b , c ) o vetor normal e N 1 = ( 1,0 , 1 ) o vetor de π 1 ,   precisamos atender o seguinte:

cos ⁡ 60 ° = a + c a 2 + b 2 + c 2

a + c a 2 + b 2 + c 2 = 1 2

Podemos fixar a norma de N = 2 , e aí teremos:

a + c 2 = 1 2

a + c = 1    

c = ± 1 - a

Passo 3

Como queremos um vetor perpendicular, temos que:

N ⋅ V = 0

- 4 a - b + c = 0

b = c - 4 a

Substituindo o que encontramos ali em cima:

b = ± 1 - a - 4 a

b = ± 1 - 5 a

Substituindo isso na equação da norma:

a 2 + ± 1 - 5 a 2 + ± 1 - a 2 = 2

27 a 2 = ± 12 a

a = 0   o u   a = ± 4 9

Passo 4

Daí encontramos:

b = 1   o u   b = - 11 9

c = 1   o u   c = 5 9

Temos os vetores normais sendo:

N = 0,1 , 1   o u   N = 4 9 ,   - 11 9 , 5 9

Então os planos:

y + z = 0     e     4 x - 11 y + 5 z = 0

Satisfazem o problema😊

Resposta

y + z = 0     e     4 x - 11 y + 5 z = 0

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