Enunciado

Obtenha a equação geral da superfície esférica que tangencia os eixos O x e O y , cujo centro tem as três coordenadas negativas e pertence a reta determinada por P = ( 1,3 , - 1 ) e Q = - 1,0 , - 2 .

Passo 1

Essa vai ser grande então pega um café e embarca nessa:

Começando pela equação da esfera nós temos que x 0 < 0 ,   y 0 < 0   e   z 0 < 0 então:

x + x 0 2 + y + y 0 2 + z + z 0 2 = ρ 2  

E o centro está numa equação parametrizada igual a:

x 0 = P x + t Q x - P x

y 0 = P y + t Q y - P y

z 0 = P z + t Q z - P z

Ou seja:

x 0 = 1 + t - 1 - 1

y 0 = 3 + t 0 - 3

z 0 = - 1 + t - 2 + 1

x 0 = 1 - 2 t

y 0 = 3 - 3 t

z 0 = - 1 - t

Isso nos dará uma equação igual a (igualando os t):

1 - x 0 2 = 3 - y 0 3 = - 1 - z 0

E uma forma de escrever as coordenas em função de uma só nós temos:

- 1 + x 0 2 = 1 + z 0

z 0 = x 0 2 - 3 2

1 - x 0 2 = 3 - y 0 3

1 2 - x 0 2 = 1 - y 0 3

- 1 2 - x 0 2 = - y 0 3

y 0 = 3 2 + 3 x 0 2

E a equação em função de λ do eixo x e do eixo y nós teremos:

O x = λ ( 1,0 , 0 )

O y = λ ( 0,1 , 0 )

Passo 2

Agora aplicando x , y , z = x 0 , 3 2 + 3 x 0 2 ,   x 0 2 - 3 2 e O x nós temos:

λ + x 0 2 + 0 + 3 2 + 3 x 0 2 2 + 0 +   x 0 2 - 3 2 2 = ρ 2  

E aplicando o mesmo valor de x , y , z e O y nós teremos:

+ x 0 2 + λ + 3 2 + 3 x 0 2 2 + 0 +   x 0 2 - 3 2 2 = ρ 2  

Isso para achar x 0 e ρ (eu falei que ia demorar hahahahah)

Abrindo a primeira equação nós teremos:

λ 2 + 2 x 0 λ + 7 2 x 0 2 + 3 x 0 + 9 2 - ρ 2 = 0

E abrindo a segunda equação:

λ 2 + 3 x 0 + 3 λ + 7 2 x 0 2 + 3 x 0 + 9 2 - ρ 2 = 0

Igualando as duas equações nós teremos:

3 x 0 + 3 = 2 x 0 → x 0 = - 3

Pois tanto o termo em a e em c são iguais. E é esperado encontrar x negativo.

Agora encontrando o Δ nulo nos dois casos nós teremos:

Δ = 4 x 0 2 - 4 7 2 x 0 2 + 3 x 0 + 9 2 - ρ 2 = 0

Como x 0 = - 3 nós iremos obter:

Δ = 4 ⋅ 9 - 4 7 2 ⋅ 9 + 3 ⋅ - 3 + 9 2 - ρ 2 = 0

Δ = 36 - 4 63 2 - 9 + 9 2 - ρ 2 = 0

Δ = 36 - 126 + 36 - 18 + 4 ρ 2 = 0

ρ 2 = 18

Passo 3

Logo os valores de y 0 e z 0 serão:

z 0 = x 0 2 - 3 2

y 0 = 3 2 + 3 x 0 2

z 0 = - 3 2 - 3 2 = - 3

y 0 = 3 2 - 9 2 = - 3

O que nos deixa com uma equação de esfera igual a:

x + 3 2 + y + 3 2 + z + 3 2 = 18

E se abrirmos essa equação nós iremos obter:

x 2 + y 2 + z 2 + 6 x + 6 y + 6 z + 9 = 0

Deu trampo mesmo hahaahha

Resposta

x + 3 2 + y + 3 2 + z + 3 2 = 18

E se abrirmos essa equação nós iremos obter:

x 2 + y 2 + z 2 + 6 x + 6 y + 6 z + 9 = 0

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Obtenha a equação reduzida da superfície esférica que contém a circunferência Γ e tem raio ρ . Γ : x + 3 2 + y + 1 2 + z - 1 2 = 10 x - 2 y + 2 z - 4 = 0 ρ = 5 Γ : x - 5 2 + y - 2 2 + z - 1 2 = 14 x +
Obtenha uma equação geral do plano que contém os pontos P = 1,1 , - 1 e Q = 1,2 , 1 e tangencia a superfície esférica S : x 2 + y 2 + z 2 - 4 x - 2 y - 4 z + 8 = 0 .
Obtenha a equação reduzida da superfície esférica que contém a circunferência Γ e tem raio ρ . Γ : x + 3 2 + y + 1 2 + z - 1 2 = 10 x - 2 y + 2 z - 4 = 0 ρ = 5 Γ : x - 5 2 + y - 2 2 + z - 1 2 = 14 x +
Em cada caso, obtenha uma equação da superfície esférica tangente aos planos π 1 e π 2 , sabendo que T é um dos pontos de tangência. π 1 : x = 0π 2 : 3 x + y + z - 2 = 0T = 0,2 , - 1 π 1 : 6 x - 3 y -
Obtenha os planos tangentes à superfície esférica S : x 2 + y 2 + z 2 = 1 que contêm a reta interseção dos planos π 1 : x + y + z = 0 e π 2 : x - y - z - 2 = 0 .