Enunciado

Obtenha uma equação da superfície esférica que contém P , Q , R e S

Passo 1

Para a letra a :

A equação de uma esfera é dada por:

x 2 + y 2 + z 2 + a x + b y + c z + d = 0

Aplicando P teremos:

1 + a + d = 0 ( 1 )

Aplicando Q :

1 + b + d = 0 ( 2 )

Aplicando R :

1 4 + 1 4 + 2 4 + a 2 + b 2 + 2 2 c + d = 0 → 1 + a 2 + b 2 + 2 2 c + d = 0 ( 3 )

E aplicando S :

1 + c + d = 0 ( 4 )

Multiplicando a terceira equação por 2 nós teremos:

2 + a + b + 2 c + 2 d = 0

Note que podemos escrever essa equação da seguinte forma:

1 + a + d + 1 + b + d + 2 c = 0

Onde 1 + a + d = 0 e 1 + b + d = 0 , logo o que sobra é 2 c = 0 → c = 0

Dessa forma na equação 4 encontramos:

1 + 0 + d = 0 → d = - 1

Com d = - 1 , então em ( 1 ) encontraremos a = 0 em ( 2 ) encontraremos b = 0 , portanto aplicando o que encontramos na equação geral da esfera nós teremos:

x 2 + y 2 + z 2 + 0 x + 0 y + 0 z - 1 = 0

x 2 + y 2 + z 2 = 1

Passo 2

Agora aplicando os pontos da letra b na equação geral:

x 2 + y 2 + z 2 + a x + b y + c z + d = 0

P : 4 + 1 + 2 b - c + d = 0  

Q : 1 + 1 + 1 + a + b - c + d

R : 1 + 1 + 1 + a - b + c + d = 0

S = 1 + 1 + 1 - a + b + c + d = 0

O que nos dará um sistema igual a:

2 b - c + d = - 5

a + b - c + d = - 3

a - b + c + d = - 3

- a + b + c + d = - 3

E sistema não tem solução e se não tem solução então não tem nenhuma esfera que comporte os quatro pontos.

Passo 3

Agora aplicando os pontos para a letra c nós teríamos o seguinte sistema:

x 2 + y 2 + z 2 + a x + b y + c z + d = 0

P :   9 + 3 a + d = 0

Q :   1 + 1 + 1 - a + 2 b + 2 c + d = 0

R :   4 + 1 + 4 + 2 a - b + 2 c + d = 0

S :   4 + 4 + 1 + 2 a + 2 b - c + d = 0

Logo o sistema fica:

3 a + d = - 9 → d = - 9 - 3 a

- a + 2 b + 2 c + d = - 3

2 a - b + 2 c + d = - 9

2 a + 2 b - c + d = - 9

Aplicando d = - 9 - 3 a nas três equações nós teremos:

- 4 a + 2 b + 2 c = 6

- a - b + 2 c = 0 → 2 c = a + b

- a + 2 b - c = 0

Aplicando 2 c = a + b nas duas outras equações nós teremos:

- 3 a + 3 b = 0

- a - a 2 + 2 b - b 2 = 0 → - 3 a + 3 b = 0 → a = b = c

E por termos encontrado duas equações iguais no final do sistema, isso nos quer dizer que há inúmeras soluções para esse sistema, já que inúmeros valores de a e de b solucionam esse sistema. Nos dando uma esfera com equação geral igual a:

x 2 + y 2 + z 2 + a x + a y + a z + ( - 3 a - 9 ) = 0

Passo 4

Agora finalmente aplicando os pontos da letra d :

x 2 + y 2 + z 2 + a x + b y + c z + d = 0

P : 1 + a + d = 0

Q : 1 + b + d = 0

R : 1 + c + d = 0

S : 3 + 3 6 2 + 3 - 3 6 2 + 3 3 2 + 3 + 3 6 a + 3 - 3 6 b + 3 3 c + d = 0

Essa última equação nos daria:

1 + 3 + 3 6 a + 3 - 3 6 b + 3 3 c + d = 0

1 + 3 6 a + b + 1 2 a - 1 2 b + 3 3 c + d = 0

Multiplicando por 2:

2 + 3 3 a + b + a - b + 2 3 3 c + 2 d = 0

Ou algo como:

1 + a + d + 3 3 a + b + 2 c + ( 1 + d - b ) = 0

O n d e   1 + a + d = 0   e - b = 1 + d

3 3 a + b + 2 c + ( 2 + 2 d ) = 0

Pelas três primeiras equações vemos que a = b = c = - 1 - d

3 3 - 4 - 4 d + 2 + 2 d = 0

E a única solução para isso é d = - 1 , portanto a = b = c = 0 , nos dando uma equação geral de esfera igual a:

x 2 + y 2 + z 2 = 1

Resposta

a ) x 2 + y 2 + z 2 = 1

b )   n ã o   t e m   e s f e r a   p a r a   o s   q u a t r o   p o n t o s

c )   i n u m e r a s   e s f e r a s   d e   e q   g e r a l   i g u a l   a   x 2 + y 2 + z 2 + a x + a y + a z + ( - 3 a - 9 ) = 0

c o m   a   r e a l

d )   x 2 + y 2 + z 2 = 1

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