Enunciado

Obtenha uma equação do lugar geométrico dos pontos E 3 que são equidistantes de O e r : X = 1,0 , 0 + λ 0,1 , 0 , e identifique-o.

Passo 1

Vamos começar procurando a fórmula para d distância entre um ponto qualquer:

P = x , y , z

E a reta r com vetor diretor r → e um ponto R 0 .

Nesse caso, a fórmula para a distância do ponto à reta é:

d = R 0 P - × s → s →

Para calcular isso, vamos começar procurando R 0 P - , sabendo que na reta do enunciado, temos R 0 = 1,0 , 0 :

R 0 P - = x , y , z - 1,0 , 0 = x - 1   ,   y   ,   z

Então aquele produto vetorial, sabendo que s → = 0,1 , 0 é:

R 0 P - × s → = x ^ y ^ z ^ x - 1 y z 0 1 0 = - z   ,   0   ,   x - 1

E a norma desse vetor é:

R 0 P - × s → = - z 2 + 0 2 + x - 1 2 = z 2 + x 2 - 2 x + 1

E a norma do vetor s → é:

s → = 0 2 + 1 2 + 0 2 = 1

Ou seja:

d = z 2 + x 2 - 2 x + 1 1 = z 2 + x 2 - 2 x + 1

Passo 2

E como calculamos a distância do nosso ponto P até a origem? Agora é só usar a fórmula de sempre:

d O = x 2 + y 2 + z 2

E se a gente quer que essas duas distâncias sejam iguais:

d O = d

x 2 + y 2 + z 2 = z 2 + x 2 - 2 x + 1

Elevando tudo ao quadrado:

x 2 + y 2 + z 2 = z 2 + x 2 - 2 x + 1

Podemos subtrair x 2 e y 2 dos dois lados:

y 2 = - 2 x + 1

2 x = 1 - y 2

E essa é a equação do lugar geométrico dos pontos que estão à mesma distância de O e de r .

E que lugar geométrico é esse? Como temos só duas variáveis, sendo uma elevada ao quadrado e a outra linear, é uma quádrica cilíndrica parabólica.

Resposta

O lugar geométrico é uma superfície quádrica cilíndrica parabólica.

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