Enunciado

Prove, em cada caso, que a equação dada descreve uma quádrica cônica.

(a) x 2 - y 2 + z 2 - 4 x - 6 y - 2 z - 4 = 0

Passo 1

Bom pessoal, o que significa provar que uma equação descreve uma quádrica cônica?

A forma mais fácil de conseguir isso, é mostrando que a equação pode ser descrita nessa forma aqui:

z 2 = x 2 a 2 + y 2 b 2

Então vamos olhar para a nossa equação:

x 2 - y 2 + z 2 - 4 x - 6 y - 2 z - 4 = 0

A primeira coisa a fazer é se livrar desses termos lineares. Podemos fazer isso usando o método de completar quadrados.

Passo 2

Começando pelos termos que envolvem x :

x 2 - 4 x

Isso é muito parecido com esse produto notável aqui:

x - 2 2 = x 2 - 4 x + 4

Então se a gente somar 4 dos dois lados da equação:

x 2 - y 2 + z 2 - 4 x - 6 y - 2 z - 4 + 4 = 0 + 4

x - 2 2 - y 2 + z 2 - 6 y - 2 z - 4 = 4

Para os termos que envolvem y :

- y 2 - 6 y = - y 2 + 6 y

- y + 3 2 = - y 2 + 6 y - 9

Então somando - 9 dos dois lados:

x - 2 2 - y 2 + z 2 - 6 y - 2 z - 4 - 9 = 4 - 9

x - 2 2 - y + 3 2 + z 2 - 2 z - 4 = - 5

E para o z :

z - 1 2 = z 2 - 2 z + 1

Então somando 1 dos dois lados:

x - 2 2 - y + 3 2 + z 2 - 2 z - 4 + 1 = - 5 + 1

x - 2 2 - y + 3 2 + z - 1 2 - 4 = - 4

x - 2 2 - y + 3 2 + z - 1 2 = 0

Ok, já melhorou bastante.

Passo 3

Para chegarmos na forma reduzida lá de cima, vamos reorganizar a equação:

x - 2 2 - y + 3 2 + z - 1 2 = 0

x - 2 2 + z - 1 2 = y + 3 2

E agora podemos fazer uma translação de coordenadas bastante simples:

x ' = x - 2 z ' = z - 1 y ' = y + 3

Então:

x ' 2 + z ' 2 = y ' 2

Para ficar mais parecido ainda com a forma geral, vamos fazer uma rotação para trocar o z ' pelo y ' :

Então:

x ' = x ' ' y ' = z ' ' z ' = - y ' '

Substituindo isso na equação:

x ' 2 + z ' 2 = y ' 2

x ' ' 2 + - y ' ' 2 = z ' ' 2

x ' ' 2 + y ' ' 2 = z ' ' 2

Agora sim, estamos exatamente na forma reduzia lá de cima, no caso a = b , que é uma quádrica cônica de rotação.

Resposta

Demonstração. A equação do enunciado pode ser reescrita como x ' ' 2 + y ' ' 2 = z ' ' 2 .

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6.1.1. Reduzir cada uma das equações de forma a identificar a quádrica que ela representa e faça um esboço do seu gráfico: (d) 4x2-9y2- 36z= 0
Mostre que a superfície cônica cuja geratriz é uma parábola y 2 = 4 p x em um plano z = k é um cone elíptico.
Considere o polinômio p λ = det ⁡ A - λ I 3 , em que A =a d / 2 e / 2 d / 2 b f / 2 e / 2 f / 2 c . a) Sejam α e β raízes distintas de p λ . Mostre que se X 1 é solução de A - α I 2 X =0 → e X 2 é sol
Considere o polinômio p λ = det ⁡ A - λ I 3 , em que A =a d / 2 e / 2 d / 2 b f / 2 e / 2 f / 2 c . b) Mostre que se p λ tem raízes reais distintas, então sempre existe uma matriz Q tal que Q t A Q =a
Identifique a quádrica, ache a equação no ultimo sistema de coordenadas utilizado e faça um esboço do gráfico. 144 x 2 + 81 z 2 + 100 y 2 - 216 x z - 540 x - 720 z = 0