Enunciado

Nos casos em que o lugar geométrico é uma superfície esférica determine o centro e o raio.

(a) Lugar geométrico dos pontos X de E 3 tais que M X → e N X → sejam ortogonais, sendo M = 1,1 , 0 , N = 0,1 , 0 .

Passo 1

Vamos tentar resolver esse problema só usando um pouco de álgebra.

O nosso ponto X é:

X = x , y , z

E então o vetor M X →   é:

M X → = X - M = x , y , z - 1,1 , 0

M X → = x - 1 , y - 1 , z

E o vetor N X → é:

N X → = X - N = x , y , z - 0,1 , 0

N X → = x , y - 1 , z

Beleza, já temos as formas gerais dos vetores.

Passo 2

A ideia do enunciado é que esses dois vetores sejam ortogonais, ou seja:

N X → ∙ M X → = 0

O produto interno tem que ser nulo! Lembrando que o produto interno de dois vetores é:

x 1 , y 1 , z 1 ∙ x 2 , y 2 , z 2 = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2

Então:

N X → ∙ M X → = 0

x , y - 1 , z ∙ x - 1 , y - 1 , z = 0

x x - 1 + y - 1 y - 1 + z z = 0

Arrumando um pouco:

x 2 - x + y 2 - 2 y + 1 + z 2 = 0

Mas ainda precisamos melhorar mais!

Passo 3

Vamos usar o método de completar quadrados:

x 2 - x + y 2 - 2 y + 1 + z 2 = 0

Começando pelos termos que dependem de x :

x - 1 2 2 = x 2 - x + 1 4

Então somando 1 / 4 dos dois lados:

x 2 - x + y 2 - 2 y + 1 + z 2 + 1 4 = 1 4

x - 1 2 2 + y 2 - 2 y + 1 + z 2 = 1 4

E para os termos que dependem de y :

y - 1 2 = y 2 - 2 y + 1

Então somando 1 dos dois lados:

x - 1 2 2 + y 2 - 2 y + 1 + z 2 + 1 = 1 + 1 4

x - 1 2 2 + y - 1 2 + 1 + z 2 = 1 + 1 4

x - 1 2 2 + y - 1 2 + z 2 = 1 4

Beleza, agora já está bem melhor! Já dá pra identificar o centro e o raio.

Lembrando que se uma esfera tem centro C = x 0 , y 0 , z 0 e raio r , a equação é:

x - x 0 2 + y - y 0 2 + z - z 0 2 = r 2

Então, olhando para a nossa equação:

x - 1 2 2 + y - 1 2 + z 2 = 1 4

Então:

C = 1 2 , 1,0

r = 1 4 = 1 2

Resposta

O centro da esfera é C = 1 2 , 1,0 e o raio é r = 1 / 2   .

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