Enunciado

Obtenha uma equação vetorial da reta s que contém P e é perpendicular a r , nos casos:

a) P = ( 2 ,   6 ,   1 ) , r : X = - 3 ,   0 ,   0 + λ   ( 1 ,   1 ,   3 ) .

b) P = ( 1 ,   0 ,   1 ) , r contém A = ( 0 ,   0 ,   - 1 ) e B = ( 1 ,   0 ,   0 )

Passo 1

Como queremos a reta s que passa por P e é perpendicular a reta r , temos que procurar o vetor diretor dessa reta s que seja ortogonal ao vetor diretor da reta r .

Vamos resolver primeiro o item (a). Supondo que o vetor diretor da reta s seja v → = ( a ,   b ,   c ) , temos que

a ,   b , c ⋅ 1 ,   1 ,   3 = 0 ⇒ a + b + 3 c = 0

Assim, como b = - a - 3 c :

v → = a ,   - a - 3 c ,   c

Além disso, a reta s passa pelo ponto P = ( 2 ,   6 ,   1 ) e a reta r por A = ( - 3 ,   0 ,   0 ) . Para que as retas sejam perpendiculares, elas devem estar num mesmo plano, de modo que   A P → = ( 5 ,   6 ,   1 ) , u → = ( 1 ,   1 ,   3 ) e v → = ( a ,   - a - 3 c ,   c ) devem ser LD:

5 6 1 1 1 3 a - a - 3 c c = 0

Portanto,

a ⋅ 18 - 1 + a + 3 c ⋅ 15 - 1 + c ⋅ 5 - 6 = 0

Logo,

17 a + 14 a + 42 c - c = 0 ⇒ 31 a + 41 c = 0 ⇒ c = - 31 41 a

Portanto,

v → = a ,   - a + 93 41 a ,   - 31 41 a = a 41   41 ,   93 - 41 ,   - 31 = a 41   ( 41 ,   52 ,   - 31 )

Como só a direção importa, vamos escolher

v → = ( - 41 ,   - 52 ,   31 )

Assim, a equação da reta s será

X = 2 ,   6 ,   1 + λ   ( - 41 ,   - 52 ,   31 )

Passo 2

Para procedermos da mesma forma que no item (a), temos que achar o vetor diretor da reta r primeiro:

u → = A B → = B - A = ( 1 ,   0 ,   1 )

Assim, o vetor diretor da reta s será v → = ( a ,   b , c ) com

a ,   b ,   c ⋅ 1 ,   0 ,   1 = 0 ⇒ a + c = 0 ⇒ c = - a

Portanto,

v → = ( a ,   b ,   - a )

Da mesma forma, o conjunto   A P → = 1 ,   0 ,   1 - 0 ,   0 ,   - 1 = ( 1 ,   0 ,   2 ) , u → = ( 1 ,   0 ,   1 ) , v → = a ,   b ,   - a deve ser LD:

1 0 2 1 0 1 a b - a = 0

Assim,

a ⋅ 0 - 0 - b ⋅ 1 - 2 - a ⋅ 0 - 0 = 0 ⇒ b = 0

Portanto,

v → = a ,   0 ,   - a = a   ( 1 ,   0 ,   - 1 )

Usando v → = ( 1 ,   0 ,   - 1 ) , a equação da reta s fica

X = 1 ,   0 ,   1 + λ   ( 1 ,   0 ,   - 1 )

Resposta

X = 2 ,   6 ,   1 + λ   ( - 41 ,   - 52 ,   31 )

X = 1 ,   0 ,   1 + λ   ( 1 ,   0 ,   - 1 )

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Dê condições sobre m e n para que as retas r e s determinem um plano: r :x - y = 1 n x - y - 2 z + m + 1 = 0s :x - n z + m + n = 0 x + y - 2 n z + 11 = 0
Mostre que as retas r e s determinam um plano π e obtenha uma equação geral de π .a) r : x - 1 = y = 2 zs : x - 1 = y = z b) r : x - 1 2 = y - 3 3 = z 4s : x 2 = y 3 = z - 4 4
Para que valores de m existe uma única reta paralela ao vetor u → = ( 1 ,1 ,0 ) que seja concorrente com r : X = 2 ,- 1 ,1 + λ( 1 ,m ,3 ) e s : X = 3 ,1 ,1 + μ( 1 ,1 ,m ) ?
Discuta, segundo os valores de a , a existência e a unicidade de uma reta t que contenha o ponto P = ( 1 ,a ,0 ) e seja concorrente com r : X = 1 ,1 ,1 + λ( 1 ,2 ,3 ) e s : X = 1 ,2 ,1 + μ( 0 ,0 ,1 )
Verifique se as retas r e s são ortogonais ou perpendiculares. r : X = 2 ,- 5 ,1 + λ3 ,- 2 ,- 1s : x - 4 2 = y - 2 3 = z + 4 ( - 5 )