Enunciado

Discuta, segundo os valores de a , a existência e a unicidade de uma reta t que contenha o ponto P = ( 1 ,   a ,   0 ) e seja concorrente com r : X = 1 ,   1 ,   1 + λ   ( 1 ,   2 ,   3 ) e s : X = 1 ,   2 ,   1 + μ   ( 0 ,   0 ,   1 ) .

Passo 1

Queremos achar uma reta t que passe por P = ( 1 ,   a ,   0 ) e seja concorrente com r : X = 1 ,   1 ,   1 + λ   ( 1 ,   2 ,   3 ) e s : X = 1 ,   2 ,   1 + μ   ( 0 ,   0 ,   1 ) . Para isso, vamos denotar dois pontos genéricos M e N , um em r e outro em s :

M = ( 1 + λ ,   1 + 2 λ ,   1 + 3 λ )

N = ( 1 ,   2 ,   1 + μ )

Para que exista a reta t pedida, os pontos P , M e N deve ser colineares. Isso ocorre se

P M → = k   P N →

Passo 2

Os vetores   P M → e   P N → são dados por

P M → = M - P = ( λ ,   1 + 2 λ - a ,   1 + 3 λ )

P N → = N - P = ( 0 ,   2 - a ,   1 + μ )

Assim, a relação   P M → = k   P N → é reescrita como

λ = 0 1 + 2 λ - a = k ( 2 - a ) 1 + 3 λ = k ( 1 + μ ) ⇒ 1 - a = 2 k - k a 1 = k + k μ           e           λ = 0

Nós queremos discutir para que valores de a esse sistema tem solução. Da primeira equação, tiramos:

k = 1 - a 2 - a

Substituindo na segunda equação:

1 = 1 - a 2 - a   1 + μ ⇒ 2 - a = 1 - a ( 1 + μ )

Vamos ter que estudar essa equação!

Passo 3

A equação que nos interessa é

2 - a = ( 1 - a ) ( 1 + μ )

Para a = 1 , a equação vira

1 = 0

o que claramente é um absurdo. Assim, a reta t não existe para a = 1 . Já para a = 2 , obtemos

1 + μ = 0 ⇒ μ = - 1

Note que nesse caso, o ponto P = ( 1 ,   2 ,   0 ) é o próprio ponto N = ( 1 ,   2 ,   0 ) . Nesse caso, existe infinitas retas que passam por P = N e interceptam a reta r .

Por fim, para a ≠ 1 e a ≠ 2 , achamos

μ = 2 - a 1 - a - 1

Esse valor é único, assim como os pontos M e N . Desta forma, nesse caso, a reta t é única!

Resposta

a = 1 ⇒ não existe reta t

a = 2 ⇒ existem infinitas retas t

a ≠ 1   e   a ≠ 2 ⇒ existe uma única reta t

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