Enunciado

Obtenha equações da reta perpendicular comum às retas r e s .

r : X = 4 ,   3 ,   3 + λ   2 ,   - 1 ,   3                                             s : 2 - 2 x = y = - z

Passo 1

O problema quer que achemos a reta que seja perpendicular tanto a r como a s . Primeiro vamos escrever a reta s na forma vetorial:

2 - 2 x = y 2 - 2 x = - z

Assim,

z = 2 x - 2

Portanto,

x , y ,   z = x ,   2 - 2 x ,   2 x - 2 = 0 ,   2 ,   - 2 + x   ( 1 ,   - 2 ,   2 )

O vetor diretor de s é u → = ( 1 ,   - 2 ,   2 ) enquanto que o de r é v → = ( 2 ,   - 1 ,   3 ) . Como queremos uma reta que seja perpendicular as duas, o vetor diretor w → deve ser perpendicular tanto a u → como a v → . Assim, podemos achá-lo pelo produto vetorial:

w → = u → ∧ v → = i → j → k → 1 - 2 2 2 - 1 3 = - 4 ,   1 ,   3

Assim, o vetor diretor dessa reta é

w → = ( 4 ,   - 1 ,   - 3 )

Passo 2

Um ponto genérico da reta r é

A = ( 4 + 2 μ ,   3 - μ ,   3 + 3 μ )

Já um ponto na reta s é

B = x ,   2 - 2 x ,   2 x - 2

Como queremos achar uma reta que corta essas duas e tem vetor diretor w → = ( 4 ,   - 1 ,   - 3 ) , vamos supor que A e B são esses pontos de encontro, de modo que   A B → e w → sejam paralelos. Assim,

A B → = k   w →

Portanto,

x - 2 μ - 4 , - 2 x + μ - 1,2 x - 3 μ - 5 = ( 4 k ,   - k , - 3 k )

Logo,

x - 2 μ - 4 = 4 k - 2 x + μ - 1 = - k 2 x - 3 μ - 5 = - 3 k

Isolando x na primeira equação:

x = 2 μ + 4 k + 4

Substituindo nas outras duas:

- 4 μ - 8 k - 8 + μ - 1 = - k 4 μ + 8 k + 8 - 3 μ - 5 = - 3 k ⇒ - 3 μ - 7 k = 9 μ + 11 k = - 3

Na segunda equação:

μ = - 11 k - 3

Substituindo na primeira:

- 3 - 11 k - 3 - 7 k = 9 ⇒ 33 k + 9 - 7 k = 9 ⇒ k = 0 ⇒ μ = - 3 ⇒ x = - 2

Assim,

A = - 2 ,   6 ,   - 6               e                 B = - 2 ,   6 ,   - 6

A reta passa por esses dois pontos e tem vetor diretor w → = ( 4 ,   - 1 ,   - 3 ) . Uma de suas equações é

X = - 2 ,   6 ,   - 6 + λ   ( 4 ,   - 1 ,   - 3 )

Resposta

X = - 2 ,   6 ,   - 6 + λ   ( 4 ,   - 1 ,   - 3 )

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