Enunciado

Verifique se as retas r e s são ortogonais ou perpendiculares.

r : x + 3 = y = z 3                                               s : x - 4 2 = 4 - y ( - 1 ) = - z

Passo 1

O exercício forneceu a equação simétrica de duas retas e quer que vejamos se elas são ortogonais ou perpendiculares. Uma reta que passa por ( x 0 ,   y 0 ,   z 0 ) e tem vetor diretor ( a ,   b ,   c ) é escrita na forma

x - x 0 a = y - y 0 b = z - z 0 c

No caso da reta r , temos

x - ( - 3 ) 1 = y - 0 1 = z - 0 3

Assim, ela passa no ponto ( - 3 ,   0 ,   0 ) e tem vetor diretor u → = ( 1 ,   1 ,   3 ) . Sua equação vetorial é

X = - 3 ,   0 ,   0 + λ   ( 1 ,   1 ,   3 )

Já para s , temos

x - 4 2 = y - 4 1 = z - 0 ( - 1 )

Assim, ela passa por ( 4 ,   4 ,   0 ) e seu vetor diretor é v → = ( 2 ,   1 ,   - 1 ) . Sua equação vetorial é

X = 4 ,   4 ,   0 + μ   ( 2 ,   1 ,   - 1 )

Fazendo o produto escalar dos vetores diretores:

u → ⋅ v → = 2 + 1 - 3 = 0

Como o produto escalar dos vetores diretores é nulo, as retas são ortogonais, mas elas podem ser ortogonais reversas ou concorrentes. Se forem concorrentes, daí elas serão perpendiculares.

Passo 2

Para verificar se elas são concorrentes ou não, vamos procurar um ponto de interseção. Os pontos da reta r são da forma

X = ( - 3 + λ ,   λ ,   3 λ )

Já na reta s , eles são da forma

X = ( 4 + 2 μ ,   4 + μ ,   - μ )

Para que haja um ponto de encontro entre as retas:

( - 3 + λ ,   λ ,   3 λ ) = ( 4 + 2 μ ,   4 + μ ,   - μ )

Assim,

- 3 + λ = 4 + 2 μ λ = 4 + μ 3 λ = - μ

Passo 3

Da terceira equação:

μ = - 3 λ

Substituindo na primeira:

- 3 + λ = 4 + 2 ⋅ - 3 λ ⇒ - 3 + λ = 4 - 6 λ ⇒ 7 λ = 7 ⇒ λ = 1

Assim,

μ = - 3

Note que essa solução também satisfaz a segunda equação:

1 = 4 + ( - 3 )

Portanto, as retas se encontram no ponto

( - 2 ,   1 ,   3 )

Como elas são concorrentes e ortogonais, elas são perpendiculares!

Resposta

Ortogonais e perpendiculares.

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