Enunciado

Obtenha uma equção geral do plano que contém a origem do sistema de coordenadas, é paralelo a r :   - x = 1 - y / 4 = ( 1 - z ) / 5 e perpendicular a π : X = 1 ,   2 ,   3 + λ   0 ,   4 ,   - 3 + μ   ( 1 ,   - 1 ,   - 2 ) .

Passo 1

Nesse primeiro passo, vamos obter o vetor normal ao plano π e o vetor diretor da reta. Olhando primeiro para a equação da reta, temos que

- x = 1 - y 4 = 1 - z 5 ⇒ x - 0 1 = y - 1 4 = z - 1 5

Vemos então que a reta passa pelo ponto ( 0 ,   1 ,   1 ) e seu vetor diretor é u → = ( 1 ,   4 ,   5 ) .

Já para o plano π , o vetor normal é dado pelo produto vetorial dos vetores diretores:

n → π = 0 ,   4 ,   - 3 ∧ 1 ,   - 1 ,   - 2 = i → j → k → 0 4 - 3 1 - 1 - 2 = ( - 11 ,   - 3 ,   - 4 )

Vamos usar

n → π = ( 11 ,   3 ,   4 )

Passo 2

Vamos demnotar o vetor normal ao plano que queremos achar de n → = ( a ,   b ,   c ) . Como esse plano deve ser paralelo à reta r , devemos ter

n → ⋅ u → = 0 ⇒ a ,   b ,   c ⋅ 1 ,   4 ,   5 = 0 ⇒ a + 4 b + 5 c = 0 ⇒ a = - 4 b - 5 c

Portanto,

n → = ( - 4 b - 5 c ,   b ,   c )

Além disso, o plano deve ser perpendicular a π , de modo que

n → ⋅ n → π = 0 ⇒ - 4 b - 5 c ,   b ,   c ⋅ 11 ,   3 ,   4 = 0

Portanto,

- 44 b - 55 c + 3 b + 4 c = 0 ⇒ - 4 1 b - 51 c = 0 ⇒ b = - 51 c 41

Logo,

n → = 204 c 41 - 5 c ,   - 51 c 41 ,   c = c   - 1 41 ,   - 51 41 ,   1 = - c 41   ( 1 ,   51 ,   - 41 )

Vamos usar

n → = ( 1 ,   51 ,   - 41 )

Passo 3

Com o vetor normal encontrado na passo 2, a equação do plano é do tipo

x + 51 y - 41 z + d = 0

Sabemos que a origem O = ( 0 ,   0 ,   0 ) deve pertencer ao plano, de modo que d = 0 . Assim, a equação é

x + 51 y - 41 z = 0

Resposta

x + 51 y - 41 z = 0

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Determinar a e b , de modo que os planos π 1 : a x + b y + 4 z - 1 = 0 e π 2 : 3 x - 5 y - 2 z + 5 = 0 Sejam paralelos.
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Nos problemas 45 e 46, estabelecer as equações reduzidas, sendo x a variável independente da reta interseção dos planos: π 1 : 3 x - 2 y - z - 1 = 0 π 2 : x + 2 y - z - 7 = 0
Calcular o volume do tetraedro limitado pelo plano 3 x + 2 y - 4 z - 12 = 0 e pelos planos coordenados.