Enunciado

Obtenha os pontos da reta r que equidistam de A e B e comente as peculiaridades geométricas de cada caso.

b) r : X = 0 ,   0 ,   4 + λ ( 4 ,   2 ,   - 3 )                       A = 2 ,   2 ,   5                       B = ( 0 ,   0 ,   1 )

Passo 1

b) Pela equação de r , encontramos que um ponto genérico da reta é

P = 4 λ ,   2 λ ,   4 - 3 λ

Então vamos encontrar os valores de λ que fazem esse ponto P ser equidistante a A e B ok?

Passo 2

Queremos os pontos P = 4 λ ,   2 λ ,   4 - 3 λ de r que tenham a mesma distância até A = ( 2 ,   2 ,   5 ) e até B = ( 0 ,   0 ,   1 ) , então:

d P , A = d ( P ,   B )

Usando a fórmula de distância entre pontos:

4 λ - 2 2 + 2 λ - 2 2 + 4 - 3 λ - 5 2 = 4 λ 2 + 2 λ 2 + 4 - 3 λ - 1 2

4 λ - 2 2 + 2 λ - 2 2 + - 3 λ - 1 2 = 4 λ 2 + 2 λ 2 + - 3 λ + 3 2

Desenvolvendo os produtos notáveis:

16 λ 2 - 16 λ + 4 + 4 λ 2 - 8 λ + 4 + 9 λ 2 + 6 λ + 1 = 16 λ 2 + 4 λ 2 + 9 - 18 λ + 9 λ ²

29 λ 2 - 18 λ + 9 = 29 λ 2 - 18 λ + 9

Elevando os dois lados ao quadrado:

29 λ 2 - 18 λ + 9 = 29 λ 2 - 18 λ + 9

Eliminando os termos em comum dos dois lados, temos:

0 = 0

Opa, o nosso t sumiu, mas chegamos em uma igualdade!!

O que isso quer dizer?? Que pra todo valor de λ no ponto P , a reta r vai ser equidistante aos pontos A e B :D

Resposta

b) Todo ponto de r é equidistante até A e B .

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Descreva o lugar geométrico dos pontos do plano π que equidistam de A e B e comente as peculiaridades geométricas de cada caso.b) π : 2 x + 2 y - z = 0A = 0 ,1 , 1 2 B = 2 ,3 ,- 1 2
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