Enunciado

Determine a parte da reta r : X = 0 ,   0 ,   0 + λ . ( 1 ,   2 ,   1 ) que é visível para um observador situado no ponto ( 1 ,   0 ,   0 ) , supondo que os planos π 1 : x + y - z - 2 = 0 e π 2 : 2 x - y + z + 2 = 0 sejam opacos.

Passo 1

Beleza, somos observadores no ponto ( 1 ,   0 ,   0 ) e olhamos pra uma reta. Mas tem dois planos que funcionam ali como muros, nos impedindo de ver a reta inteira. É algo assim olha:

O plano laranja é π 1 e o plano roxo é π 2 . A reta preta é r .

A parte que vemos da reta é a parte que não está tracejada, pois estamos no ponto O . De que ponto até que ponto do espaço vai esse trecho da reta que conseguimos ver?

Passo 2

Nós podemos ver a reta a partir do momento que ela passa por π 1 até o momento em que ela cruza π 2 , concorda? Então, vamos encontrar as intersecções de r com π 1 e com π 2 , pois são as extremidades do segmento que conseguimos ver na reta.

Um ponto genérico da reta r é P = λ ,   2 λ ,   λ .

Vamos substituir na equação de π 1 :   x + y - z - 2 = 0 para encontrarmos sua intersecção com r

λ + 2 λ - λ - 2 = 0

λ = 1

Substituindo no ponto genérico P , encontramos que a intersecção de r e π 1 é P ' = ( 1 ,   2 ,   1 ) .

Passo 3

Agora vamos substituir o ponto genérico P na equação de π 2 : 2 x - y + z + 2 = 0 para encontramos a intersecção de r e π 2 :

2 λ - 2 λ + λ + 2 = 0

λ = - 2

Substituindo no ponto genérico P , encontramos que a intersecção de r e π 2 é P ' ' = ( - 2 ,   - 4 ,   - 2 ) .

Então, nós podemos observar a reta no segmento P ' P ' ' , ou seja, de ( 1 ,   2 ,   1 ) até ( - 2 ,   - 4 ,   - 2 ) ;)

Resposta

Podemos observar a reta no segmento de extremidades ( 1 ,   2 ,   1 ) e ( - 2 ,   - 4 ,   - 2 )

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Verifique se o plano π separa os pontos A e B .c) A = 0 ,0 ,0 B = 0 ,- 1 ,- 3π : x = 3 y - z - 1
Sejam A = 1,0 , 0 ,B = 0,2 , 0 ,C = 0,0 , 3 ,π 1 : 6 x + 3 y + 2 z + 3 = 0 e π 2 : 6 x + 3 y + 2 z - 3 = 0 . Verifique se os planos interceptam o tetraedro O A B C .
O quadrado A B C D é uma face e C E é uma aresta de um cubo de diagonal A E . Obtenha uma equação geral do plano que contém A E e forma ângulo de 60 ° com a face A B C D , sabendo que A = 2,2 , 0 ,C =
Descreva, em cada caso, a interseção entre o plano π e o tetraedro de vértices A = ( 1,1 , 3 ) , B = 2,2 , - 4 ,C = ( 2 , - 2,0 ) e D = ( - 1 , - 1,2 ) ( a ) π : 4 x - 3 y + z - 1 = 0 ( b ) π : x + y