Enunciado

Obter equações reduzidas na variável x , da reta:

  1. Que passa pelos pontos A ( - 1,2 , 3 ) e B ( 2 , - 1,3 ) .

Passo 1

Olá, tudo bem? Vamos resolver junto esse exercício? =D

As equações paramétricas de uma reta são:

r : x = x 0 + a t y = y 0 + b t z = z 0 + c t

Onde ( x 0 , y 0 , z 0 ) é um ponto que pertence à reta. E também temos que v → = ( a , b , c ) é o vetor paralelo à essa reta.

Então precisamos encontrar um vetor diretor pra essa reta. Esse vetor pode ser o vetor que vai do ponto A até o ponto B , então:

v → = B - A = 2 , - 1,3 - - 1,2 , 3 = ( 3 , - 3,0 )

E o ponto? Bom, o ponto pode ser qualquer um que pertença à reta, aqui eu vou escolher o ponto A - 1,2 , 3 .

Assim as equações paramétricas da reta são:

r : x = - 1 + 3 t y = 2 - 3 t z = 3

Mas note que ela está em termos do parâmetro t . O problema nos pede que sejam escritas as retas em função da variável x .

Passo 2

Pra resolver esse problema, vou achar quanto vale t em função de x , pra depois, nas outras equações, vou substituir. Assim vou ter as outras equações em função de x , e não de t . Sacou? Vamos lá?

Começando pela equação em x :

x = - 1 + 3 t

E isolando t nela:

x + 1 = 3 t

t = x + 1 3

Beleza! Já temos o parâmetro t em função da variável x . Agora vou substituir essa expressão nas outras equações.

Passo 3

Da equação para y temos:

y = 2 - 3 t

E como temos t do passo anterior, substituindo vamos ter o seguinte:

y = 2 - 3 x + 1 3

y = 2 - x - 1

y = 1 - x

Tranquilo? Aqui encontramos y em função de x . Agora pegando a equação pra z e substituindo t , vamos ter z ( x ) , saca só:

z = 3

Opa! Aqui z é independente, então ele fica do jeito que está!

Pronto! Agora é só reunir as equações:

z = 3 y = 1 - x

É isso! Temos as equações reduzidas de z e y em termos da variável x .

Espero ter ajudado!

Vamos pra próxima?

Resposta

z = 3 y = 1 - x

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