Enunciado

O ponto P ( m ,   1 ,   n ) pertence à reta que passa por A ( 3 ,   - 1 ,   4 ) e B ( 4 ,   - 3 ,   - 1 ) . Determinar P .

Passo 1

Olá, tudo bem? Vamos resolver junto esse exercício? =D

As equações paramétricas de uma reta são:

r : x = x 0 + a t y = y 0 + b t z = z 0 + c t

Onde ( x 0 , y 0 , z 0 ) é um ponto que pertence à reta. E também temos que v → = ( a , b , c ) é o vetor paralelo à essa reta.

Então precisamos encontrar um vetor diretor pra essa reta. Esse vetor pode ser o vetor que vai do ponto A até o ponto B , então:

v → = B - A = 4 ,   - 3 ,   - 1 - 3 ,   - 1 ,   4 = ( 1 , - 2 , - 5 )

E o ponto? Bom, o ponto pode ser qualquer um que pertença à reta, aqui eu vou escolher o ponto A 3 ,   - 1 ,   4 .

Assim as equações paramétricas da reta são:

r : x = 3 + t y = - 1 - 2 t z = 4 - 5 t

Passo 2

Agora temos que o ponto P ( m , 1 , n ) pertence à essa reta, sendo assim ele deve satisfazer as equações dessa reta:

m = 3 + t 1 = - 1 - 2 t n = 4 - 5 t

Assim da segunda equação podemos achar quanto vale o parâmetro t :

1 = - 1 - 2 t

1 + 1 = - 2 t

2 = - 2 t

t = - 1

Passo 3

E sabendo quando vale o parâmetro, podemos substituir ele nas outras equações achar os valores de m e n . Começando pela primeira equação:

m = 3 + t

m = 3 + - 1 = 2

E agora olhando a terceira equação:

n = 4 - 5 t

n = 4 - 5 - 1 = 4 + 5 = 9

Então temos que m = 2 e n = 9 . E o ponto P é:

P ( 2,1 , 9 )

Espero ter ajudado!

Vamos pra próxima?

Resposta

P ( 2,1 , 9 )

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