Enunciado

Escrever equações reduzidas na variável z da reta que passa por A ( - 1 ,   6 ,   3 ) e B ( 2 ,   2 ,   1 ) .

Passo 1

Olá, tudo bem? Vamos resolver junto esse exercício? =D

As equações paramétricas de uma reta são:

r : x = x 0 + a t y = y 0 + b t z = z 0 + c t

Onde ( x 0 , y 0 , z 0 ) é um ponto que pertence à reta. E também temos que v → = ( a , b , c ) é o vetor paralelo à essa reta.

Então precisamos encontrar um vetor diretor pra essa reta. Esse vetor pode ser o vetor que vai do ponto A até o ponto B , então:

v → = B - A = 2,2 , 1 - - 1,6 , 3 = ( 3 , - 4 , - 2 )

E o ponto? Bom, o ponto pode ser qualquer um que pertença à reta, aqui eu vou escolher o ponto A - 1 , 6,3 .

Assim as equações paramétricas da reta são:

r : x = - 1 + 3 t y = 6 - 4 t z = 3 - 2 t

Mas note que ela está em termos do parâmetro t . O problema nos pede que sejam escritas as retas em função da variável z .

Passo 2

Pra resolver esse problema, vou achar quanto vale t em função de z , pra depois, nas outras equações, vou substituir. Assim vou ter as outras equações em função de z , e não de t . Sacou? Vamos lá?

Começando pela equação em z :

z = 3 - 2 t

E isolando t nela:

z - 3 = - 2 t

z - 3 - 2 = t

t = 3 - z 2

Beleza! Já temos o parâmetro t em função da variável z . Agora vou substituir essa expressão nas outras equações.

Passo 3

Da equação para x temos:

x = - 1 + 3 t

E como temos t do passo anterior, substituindo vamos ter o seguinte:

x = - 1 + 3 3 - z 2

x = - 1 + 9 - 3 z 2

x = - 1 + 9 2 - 3 z 2

x = 7 2 - 3 z 2

Tranquilo? Aqui encontramos x em função de z . Agora pegando a equação pra y e substituindo t , vamos ter y ( z ) , saca só:

y = 6 - 4 t

y = 6 - 4 3 - z 2

y = 6 - 2 ( 3 - z )

y = 6 - 6 + 2 z

y = 2 z

Pronto! Agora é só reunir as equações:

x = 7 2 - 3 z 2 y = 2 z

É isso! Temos as equações reduzidas de x e y em termos da variável z .

Espero ter ajudado!

Vamos pra próxima?

Resposta

x = 7 2 - 3 z 2 y = 2 z

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Determinar o ponto da reta r : x - 1 2 = y + 3 - 1 = z 4 que possui:b) Ordenada 2 .
Obter equações reduzidas na variável x , da reta:Que passa pelos pontos A ( 1 , - 2,3 ) e B ( 3 , - 1 , - 1 ) .
Na reta y = 2 x + 3 z = x - 1 determinar o ponto de:Ordenada igual a 9 ;
Determinar o ponto da reta r : x - 1 2 = y + 3 - 1 = z 4 que possui:a) Abscissa 5 .
Obter o ponto de abscissa 1 da reta r : 2 x + 1 3 = 3 y - 2 2 = z + 4 e encontrar um vetor diretor de r que tenha ordenada 2 .