Enunciado

Obter um vetor ortogonal ao plano determinado pelos pontos A ( 2 ,   3 ,   1 ) , B ( 1 ,   - 1 ,   1 ) e C ( 4 ,   1 ,   - 2 ) .

Passo 1

Primeiro vamos pensar nas características de um plano determinado por A ,   B ,   C . Nós vamos estudar isso com mais calma lá na frente, mas já podemos perceber que se um plano contém esses pontos, ele vai conter os vetores A B → ,   A C → ,   B C → .

Então se queremos um vetor ortogonal a esse plano, podemos fazer o produto vetorial entre 2 vetores quaisquer entre A B → ,   A C → ,   B C → , pois sabemos que o produto vetorial sempre vai resultar em um vetor ortogonal né? :)

Passo 2

Vamos fazer o produto vetorial A B → × A C → , pode ser?

Primeiro vamos encontrar esses vetores:

A B → = B - A = 1 ,   - 1 ,   1 - 2 ,   3 ,   1 = ( - 1 ,   - 4 ,   0 )

A C → = C - A = 4 ,   1 ,   - 2 - 2 ,   3 ,   1 = ( 2 ,   - 2 ,   - 3 )

Então queremos o produto vetorial ( - 1 ,   - 4 ,   0 ) × ( 2 ,   - 2 ,   - 3 ) , ele é dado pelo determinante:

i → j → k → - 1 - 4 0 2 - 2 - 3 = 12 i → - 3 j → + 1 0 k →

Ou seja, o produto vetorial resultou no vetor ( 12 ,   - 3 ,   10 ) , que é um vetor ortogonal ao plano determinado por A ,   B ,   C :)

Mas olha, se você achar qualquer vetor paralelo a ( 12 ,   - 3 ,   10 ) , sua resposta ta certa também viu? hehe

Resposta

( 12 ,   - 3 ,   10 ) , ou qualquer outro vetor paralelo a esse :)

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Dados os pontos A ( 2 ,1 ,- 1 ) ,B ( 3 ,0 ,1 ) e C ( 2 ,- 1 ,- 3 ) , determinar o ponto D tal que A D → = B C → × A C → .
Efetuari) ( i → × j → ) × k →
Resolver os sistemasb) x → × ( 2 i → - j → + 3 k → ) = 0 → x → . i → + 2 j → - 2 k → = 1 2
Resolver os sistemasa) x → × j → = k → x → . 4 i → - 2 j → + k → = 10
Efetuare) 3 i → × ( 2 j → )