Enunciado

Se β ' é obtida de β , a base canônica de R 2 , pela rotação por um ângulo - π 3 , ache

a )   I β β ' b )   I β ' β

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Bom, primeiro vamos achar a base β ' . Ela é obtida girando-se os vetores da canônica de π 3 no sentido horário. Então é so pegarmos os vetores ( 1,0 ) e 0,1 e aplicarmos na matriz rotação.

A matriz rotação no sentido horário tem essa forma:

cos ⁡ θ - sin ⁡ θ       sin ⁡ θ cos ⁡ θ

Temos então que:

cos ⁡ 60 ° - sin ⁡ 60 °       sin ⁡ 60 ° cos ⁡ 60 ° = 1 2 - 3 2       3 2 1 2

Portanto:

1 2 - 3 2       3 2 1 2 ⋅ 1 0 = 1 2 - 3 2

1 2 - 3 2       3 2 1 2 ⋅ 0 1 = 3 2 1 2

Portanto:

β ' = 1 2 , - 3 2 , 3 2 , 1 2

Agora, para acharmos a matriz mudança de base I β β ' , vamos escrever os vetores de β ' em função da canônica β . Mas a gente sabe que os vetores de qualquer base em função da canônica são eles mesmos, então:

I β β ' = 1 2 - 3 2     3 2 1 2

Passo 2

Item b :

Para resolver esse item temos:

I β β ' - 1 = I β ' β

Portanto:

I β β ' ⋅ I β ' β = I

1 2 - 3 2     3 2 1 2 ⋅ a c       b d   = 1 0       0 1

a 2 + c 3 2 - a 3 2 + c 2       b 2 + d 3 2 - b 3 2 + d 2 = 1 0       0 1

a 2 + c 3 2 = 1

- a 3 2 + c 2 = 0

b 2 + d 3 2 = 0

- b 3 2 + d 2 = 1

Passo 3

Agora vamos relacionar as equações e descobrir as incógnitas

A relação - a 3 2 + c 2 = 0 , nos dá:

c = a 3

Logo:

a 2 + a 3 3 2 = 1

a 2 + 3 a 2 = 1

4 a = 2

a = 1 2

Logo:

c = 3 2

A relação b 2 + d 3 2 = 0 nos dá:

b = - d 3

Logo:

- - d 3 3 2 + d 2 = 1

3 d 2 + d 2 = 1

4 d = 2

d = 1 2

Logo:

b = - 3 2

Agora que encontramos as incógnitas é só substituir na forma:

a c       b d

Teremos:

I α ' α = 1 2   3 2       - 3 2 1 2

Resposta

a )   I β β ' = 1 2 - 3 2     3 2 1 2

b ) I β ' β = 1 2   3 2       - 3 2 1 2

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Se I α α ' = 1 0 11 - 1 00 1 - 1 ache : a )v α onde v α ' = - 1 2 3 b )v α ' onde v α = - 1 2 3