Enunciado

Sejam W 1 = a c   b d   t a i s   q u e   a = d   e   b = c e W 2 = a c   b d   t a i s   q u e   a = c   e   b = d subespaços de M 2,2

a ) Determine W 1 ⋂ W 2 e exiba uma base.

b ) Determine W 1 + W 2 . É soma direta? W 1 + W 2 = M 2,2 ?

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Do enunciado, temos que:

a = d a = c   p o r t a n t o ,   c = d

O mesmo acontece se analisarmos b :

b = d b = c   p o r t a n t o ,   c = d

Assim:

W 1 ⋂ W 2 = a 1 0   0 0 + b 0 0   1 0 + c 0 1   0 1

W 1 ⋂ W 2 = 1 0   0 0 , 0 0   1 0 , 0 1   0 1

Vamos verificar se os geradores de W 1 ⋂ W 2 são base, supondo que:

a 1 0   0 0 + b 0 0   1 0 + c 0 1   0 1 = 0 0   0 0

a c   b c = 0 0   0 0

Logo, como a = b = c = 0 , a combinação é L I . Portanto:

β = 1 0   0 0 , 0 0   1 0 , 0 1   0 1

Passo 2

Para responder o item b, vamos determinar os geradores. W 1 é gerado pela seguinte combinação:

d c   c d = c 0 1   1 0 + d 1 0   0 1

W 1 = 0 1   1 0 , 1 0   0 1

W 2 é gerado pela seguinte combinação:

W 2 = c c   d d = c 1 1   0 0 + d 0 0   1 1

W 2 = 1 1   0 0 , 0 0   1 1

Portanto, W 1 + W 2 será gerado por:

W 1 + W 2 = 0 1   1 0 , 1 0   0 1 , 1 1   0 0 , 0 0   1 1

A base será:

β = 0 1   1 0 , 1 0   0 1 , 1 1   0 0 , 0 0   1 1

Que possui dim ⁡ = 4 .

Do passo anterior, sabemos que a dimensão da base de W 1 ⋂ W 2 é 3 , portanto a soma não é direta.

Resposta

a ) W 1 ⋂ W 2 = 1 0   0 0 , 0 0   1 0 , 0 1   0 1

β = 1 0   0 0 , 0 0   1 0 , 0 1   0 1

b ) W 1 + W 2 = 0 1   1 0 , 1 0   0 1 , 1 1   0 0 , 0 0   1 1

A   s o m a   n ã o   é   d i r e t a ,   p o i s   W 1 ⋂ W 2   p o s s u i   d i m e n s ã o   3   e   W 1 + W 2   p o s s u i   d i m e n s ã o   4 .  

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Se α é base de um espaço vetorial, qual é a matriz mudança de base I α α ?
Seja V o espaço vetorial de matrizes 2 × 2 triangulares superiores. Sejam β = 1 00 0 , 0 01 0 , 0 00 1 e β 1 = 1 00 0 , 1 01 0 , 1 01 1 duas bases de V . Ache I β β 1 .
Volte a 4.7.2 e mostre efetivamente que I β β ' - 1 = I β ' β .
Sejam β 1 = 1,0 , 0,2 , β 2 = - 1,0 , 1,1 e β 3 = - 1 , - 1 , 0 , - 1 três bases ordenadas de R 2 .Ache: i ) I β 1 β 2 i i ) I β 2 β 3 i i i ) I β 1 β 3 i v ) I β 1 β 2⋅ I β 2 β 3 Se for possível, dê