Enunciado

Entre os operadores dos exercícios 2 a 8 da seção 6.3 verifique quais são diagonalizáveis.

3 )   T : R 2 → R 2 : T x , y = ( x + y , 2 x + y )

Passo 1

Pra gente ver se o operador é diagonalizável, precisamos calcular os autovalores e autovetores dele. E aí, se a matriz do operador for de ordem n e acharmos n autovetores, então podemos dizer que o operador é diagonalizável, belezura?

Vamos começar escrevendo a matriz da transformação.

T x , y = x + y , 2 x + y

Então:

T x , y = ( 1 x + 1 y , 2 x + 1 y )

Daí,

T = 1 1 2 1

Passo 2

Beleza, agora a gente teria que calcular os autovalores e os autovetores, mas vamos aproveitar o trabalho que já tivemos lá na seção 6.3 . A gente já calculou tudo isso! Mas só pra relembrar, vamos ver o passo a passo de como faria. Primeiro a gente calcula o determinante de T - λ I . Isso vai dar uma equação polinomial que tem os autovalores como raízes. Depois a gente substitui cada um deles na equação:

T - λ I v = 0

Com isso a gente vai encontrar os autovetores!

Nessa questão,

1 - λ 1 2 1 - λ = 0

Pela regra de Sarrus:

1 - λ 2 - 2 = 0

1 - λ = ± 2

E então temos dois autovalores:

λ = 1 + 2

λ = 1 - 2

Agora a gente substitui cada um e encontra o autovetor, mas vamos aproveitar que já temos a resposta lá da outra seção:

λ = 1 + 2 :   v = 1 , 2

λ = 1 - 2 : v = ( 1 ,   - 2 )

Passo 3

E então, pra concluir, nossa matriz é de ordem 2 , e encontramos 2 autovetores distintos e L I , certo? Portanto, a gente pode dizer que o nosso operador é diagonalizável!

Resposta

É diagonalizável.

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