Enunciado

Dizemos que uma matriz A n × n é diagonalizável se seu operador associado T A : R n → R n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n autovetores L I . Baseado nisto, verifique quais das matrizes dos exercícios 9 a 18 da seção 6.3 são diagonalizáveis.

1 5 )   A = 0 1 0 0 0 1 - 1 0 0

Passo 1

Pra gente ver se o operador é diagonalizável, precisamos calcular os autovalores e autovetores dele. E aí, se a matriz do operador for de ordem n e acharmos n autovetores, então podemos dizer que o operador é diagonalizável, belezura?

A matriz da nossa transformação é:

A = 0 1 0 0 0 1 - 1 0 0

Passo 2

Beleza, agora a gente teria que calcular os autovalores e os autovetores, mas vamos aproveitar o trabalho que já tivemos lá na seção 6.3 . A gente já calculou tudo isso! Mas só pra relembrar, vamos ver o passo a passo de como faria. Primeiro a gente calcula o determinante de T - λ I . Isso vai dar uma equação polinomial que tem os autovalores como raízes. Depois a gente substitui cada um deles na equação:

T - λ I v = 0

Com isso a gente vai encontrar os autovetores!

Nessa questão,

- λ 1 0 0 - λ 1 - 1 0 - λ = 0

Pela regra de Sarrus:

- λ 3 - 1 = 0

λ 3 = - 1

Isso vai nos dar só um autovalor!

λ = - 1

Agora a gente substitui lá e encontra o autovetor, mas vamos aproveitar que já temos a resposta lá da outra seção:

λ = - 1 : v = - 1 ,   1 ,   - 1

Passo 3

E então, pra concluir, nossa matriz é de ordem 3 , e encontramos só 1 autovetor, certo? Portanto, a gente pode dizer que o nosso operador não é diagonalizável.

Resposta

Não é diagonalizável.

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Seja T :R 2 → R 2 o operador linear definido por T x , y = ( 7 x - 4 y ,- 4 x + y ) a) Determinar uma base do R 2 em relação à qual a matriz do operador é diagonal.b) Dar a matriz de T nessa base.
Para cada uma das seguintes matrizes simétricas A , encontrar uma matriz ortogonal P , para a qual P t A P seja diagonal. A = 2 2 2 2
Para cada uma das seguintes matrizes simétricas A , encontrar uma matriz ortogonal P , para a qual P t A P seja diagonal. A = 1 0 1 0 - 1 0 1 0 1
Mostre que A = 3 0 0 0 2 - 5 0 1 - 2 não é diagonalizável. No entanto, se A representar, numa certa base, um operador linear T : V → V , onde V é um espaço vetorial complexo, então T é diagonalizável.
Utilize a forma diagonal para encontrar A n nos seguintes casos ( n natural): A = - 3 4 - 1 2 A = 0 7 - 6 - 1 4 0 0 2 - 2 Você pode generalizar o seu procedimento para o caso de uma matriz quadrada qu