Enunciado

Em palavras, qual é o significado econômico do j - é s i m o vetor coluna de I - C - 1 ? [Sugestão: observe o vetor x j - x . ]

Passo 1

Nessa questão, temos que considerar duas matrizes para produção que satisfazem duas demandas.

x seria para uma demanda d e x ' para uma demanda d ' .

Então montando as equações de Leontief, temos:

x = C x + d x ' = C x ' + d '

Passo 2

O próximo passo é somarmos as duas equações para que tenhamos uma nova onde exista um vetor que satisfaça as duas demandas juntas.

x + x ' = C x + d + C x ' + d '

Colocando os fatores em evidência, temos:

x + x ' = C x + x ' + ( d + d ' )

Agora, temos o vetor x + x '

Passo 3

Se pegarmos agora a matriz d ' , vamos coloca-la como d ' = 1 0 ⋮ 0 usando com a entrada 1 no primeiro elemento para o setor 1. Quando falarmos do setor 2, será no segundo elemento e assim por diante.

Vamos manipular a equação x ' = C x ' + d ' para que tenhamos a matriz ( I - C )

x ' - C x ' = d '       →           I - C x ' = d '

Passo 4

Agora, temos que manipular I - C x ' = d ' para que isolemos o vetor x '

x ' = I - C - 1 d '

x ' = I - C - 1 1 0 ⋮ 0

x ' = p r i m e i r a c o l u n a   d e   I - C - 1 × 1 + 0 × s e g u n d a c o l u n a   d e   I - C - 1 + … 0 × j - é s i m a c o l u n a   d e   I - C - 1

Logo, para cada setor, teremos x ' = c o l u n a   d e   I - C - 1   c o r r e s p o n d e n t e

Portanto, x ' j = x ' + I - C j - 1

Passo 5

Em outras palavras. Economicamente,a j-ésima coluna de I - C - 1 funciona como vetor que mudará o vetor produção para afetar a demanda.

Isso aparece quando vemos que, na equação x ' j = x ' + I - C j - 1 podemos manipular da forma que

x ' j = x ' + I - C j - 1

x ' j - x ' = I - C j - 1

Δ x ' = I - C - 1

Resposta

Em outras palavras. Economicamente,a j-ésima coluna de I - C - 1 funciona como vetor que mudará o vetor produção para afetar a demanda.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Diz-se que uma matriz 3 × 4 tem posto 3 quando suas linhas são linearmente independentes. Prove que, neste caso, três de suas colunas são linearmente independentes e a quarta é necessariamente uma com
Prove que uma matriz não nula m , do tipo 3x3 , tem posto 1 se, somente se, existem números a 1 , a 2 , a 3eb 1 , b 2 , b 3 tais que m = a 1 b 1 a 1 b 2 a 1 b 3 a 2 b 1 a 2 b 2 a 2 b 3 a 3 b 1 a 3 b 2
Diz-se que uma matriz 3 × 3 tem posto 3 quando suas linhas são linearmente independentes. Prove que se m tem posto 3 então suas três colunas são linearmente independentes.
Sejam m e p matrizes 3 × 3. Se uma das linhas de m é múltiplo de outra, prove que o mesmo ocorre com a matriz produto m p . Conclua que m não possui uma matriz inversa.
Torne mais abrangente o resultado acima: mostre que se alguma linha de m é combinação linear das outras duas então o mesmo ocorre com m p , seja qual for p. Conclua que, nestas condições, m não é inve