Enunciado

Resolva x - 4 y + z = 6 4 x - y + 2 z = - 1 2 x + 2 y - 3 z = - 20 usando a regra de Cramer, quando aplicável.

Passo 1

Nessa questão, temos que aplicar a regra de Cramer. Para isso, temos que colocar o sistema como uma equação matricial:

1 - 4 1 4 - 1 2 2 2 - 3 x y z = 6 - 1 - 20

Passo 2

Vamos então calcular o determinante de 1 - 4 1 4 - 1 2 2 2 - 3 para começarmos a aplicar a regra de Cramer:

det ⁡ 1 - 4 1 4 - 1 2 2 2 - 3 = 1 - 1 2 2 - 3 - ( - 4 ) 4 2 2 - 3 + 1 4 - 1 2 2

det ⁡ 1 - 4 1 4 - 1 2 2 2 - 3 = 1 3 - 4 + 4 - 12 - 4 + 1 8 - - 2

det ⁡ 1 - 4 1 4 - 1 2 2 2 - 3 = - 1 - 6 4 + 10

det ⁡ 1 - 4 1 4 - 1 2 2 2 - 3 = - 55

Como d e t 1 - 4 1 4 - 1 2 2 2 - 3 ≠ 0 , a regra de Cramer é aplicável.

Passo 3

Pela regra de Cramer, para achar x (a primeira variável) temos que substituir a matriz coluna 6 - 1 - 20 na primeira coluna da matriz de coeficientes 1 - 4 1 4 - 1 2 2 2 - 3 . Se quisermos achar y (a segunda variável) , temos que substituir na segunda coluna e assim por diante.

Passo 4

Portanto, aplicando a regra de Cramer, temos:

x = d e t 6 - 4 1 - 1 - 1 2 - 2 0 2 - 3 det ⁡ 1 - 4 1 4 - 1 2 2 2 - 3 = 144 - 55             ∴               x = - 144 55

y = d e t 1 6 1 4 - 1 2 2 - 2 0 - 3 det ⁡ 1 - 4 1 4 - 1 2 2 2 - 3 = 61 - 55             ∴               y = - 61 55

z = d e t 1 - 4 6 4 - 1 - 1 2 2 - 20 det ⁡ 1 - 4 1 4 - 1 2 2 2 - 3 = - 230 - 55         ∴               z = 230 55

Resposta

  x = - 144 55 , y = - 61 55 e z = 230 55

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