Enunciado

Participando do “Show do Milhão”, Angelique ouviu do apresentador:

“Próxima pergunta, valendo R$ 100.000,00: a reta r contém o ponto P = 0,0 , 2 e é paralela ao plano O x y . Diga qual das alternativas não pode ser a distância de r à reta s : X = 1,2 , 1 + λ 0,1 , 0

  1. 1 / 2
  2. 2
  3. 1
  4. 2 / 2

Angelique, você tem trinta segundos para a resposta.”

Se Angelique pedisse ajuda aos universitários e você fosse um deles, que alternativa indicaria?

Passo 1

Vamos lá! Esta é uma pergunta para ser respondida rapidamente. Então, isso significa que ela não é muito difícil! Então, vamos tentar entende-la.

Queremos fazer distância de reta a reta. Então, temos duas possibilidades, elas serem reversas ou elas serem paralelas distintas. O plano O x y é dado por:

z = 0

Percebam que a reta s também é paralela ao plano O x y (basta fazer o produto interno do vetor 0,0 , 1 com o vetor da reta s e verificar que é igual a 0). Verificamos também, rapidamente, que a reta s está contida no plano:

π : z - 1 = 0

Passo 2

Agora, vamos analisar o caso das retas r e s serem reversas. Se isto ocorrer, temos:

d r , s = d r , π = d P , π

Sendo P = 0,0 , 2 ∈ r . Se nós calcularmos esta distância, temos:

d P , π = 2 - 1 0 2 + 0 2 + 1 2 = 1 1 = 1

O que nos dá a letra c). Logo, não pode ser a letra c).

Passo 3

E agora? Precisamos analisar o caso das retas paralelas. Só que estas contas dão mais trabalho do que o caso anterior.

Novamente nos perguntamos: e agora?

Calma, muita calma nesta hora! A saída é mais fácil do que imaginamos. A letra b) nos diz 2 e a letra d) nos diz 2 / 2 . Só que ambos são o mesmo número! Vejamos só:

2 2 = 2 2 ⋅ 2 2 = 2 2 2 = 2

Então, pode ser ambas ao mesmo tempo!

Só nos resta a letra a). Esta é o único valor que não pode ser.

Resposta

Letra a).

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Repita o exercício resolvido anterior com os mesmos sistemas de coordenadas, substituindo a equação vetorial pora) X = 0 ,0 ,0 + λ ( 0 ,0 ,1 ) b) X = 1 2 ,2 ,0 + λ ( 1 ,4 ,- 2 )
Calcule a distância do segmento A B à reta s , nos casos(a) A = 1 ,1 ,0B = 2 ,1 ,1s : X = - 1 , - 1 ,6 + λ ( 1 ,4 ,3 )
Calcule a distância do segmento A B à reta s , nos casos(a) A = 2 ,3 ,0B = - 1 ,0 ,6s : X = 0 , - 3 ,- 1 + λ ( 1 ,- 1 ,0 )
Obtenha uma equação vetorial da reta que dista 2 6 de s : X = - 1 ,2 ,3 + λ ( - 1 ,1 ,1 ) , é concorrente r : X = 1 ,1 ,3 + λ 0 ,1 ,1 e está contida em π : x - z + 1 = 0 .
Determine a reta r que contém o ponto A , é paralela ao plano π e dista d da reta s .(b) A = 1 ,3 ,- 1π : x + z = 2s : x - z = y + 2 = z - x + 4 d = 3