Enunciado

Uma placa quadrada de material homogêneo é mantida com os bordos A C e B D à temperatura de 20 ° C , o bordo A B a 40 ° C e C D a 10 ° C , com o uso de isolantes térmicos em A ,   B ,   C   e   D (vide figura).

Após ser atingido o equilíbrio térmico, qual é a temperatura aproximada em cada ponto da placa?

Passo 1

Essa questão parece não ter nada a ver com álgebra linear à primeira vista, mas a grande sacada é modelar a placa fornecida como se fosse uma malha, veja na figura abaixo:

Obviamente, quanto mais fina for a malha, isto é, quanto menor for o h , melhor será nossa aproximação do problema, concorda? Veja que quando fazemos h tender a zero, obtemos a placa, onde a temperatura varia de maneira contínua e não discreta com a posição.

Passo 2

Vamos agora lembrar de nossos conhecimentos da física. Sabemos que esse problema é modelado pela seguinte equação:

∂ T ∂ t = c ( ∂ 2 T ∂ x 2 + ∂ 2 T ∂ y 2 )

Mas no estado estacionário, temos que ∂ T ∂ t = 0 , e aí resulta:

∂ 2 T ∂ x 2 + ∂ 2 T ∂ y 2 = 0   ( I )

Tá, mas e daí?

E daí que precisamos usar isso para relacionar as temperaturas de um ponto com as temperaturas dos vizinhos. Mas como fazemos isso?

Passo 3

Não é nosso objetivo entender como se obtém isso, mas é possível mostrar que:

∂ 2 T ∂ x 2 ( i , j ) = T i + 1 , j - 2 T i , j + T i - 1 , j h 2   ( I I )

∂ 2 T ∂ y 2 ( i , j ) = T i , j + 1 - 2 T i , j + T i , j - 1 h 2   ( I I I )

Substituindo as equações I I e I I I na equação I , obtemos:

T i + 1 , j - 2 T i , j + T i - 1 , j h 2 + T i , j + 1 - 2 T i , j + T i , j - 1 h 2 = 0

Que, arrumando, fica:

T i , j = T i - 1 , j + T i + 1 , j + T i , j - 1 + T i , j + 1 4

Interpretando essa equação, o que ela significa?

Significa que a temperatura em um dado ponto da malha é a média aritmética das temperaturas dos seus vizinhos.

Passo 4

Conforme modelamos, nossa malha tem 16 pontos, o que já é bastante, uma vez que o objetivo dessa questão é apenas mostrar como a álgebra linear pode ser útil em problemas reais de engenharia com a ajuda da computação.

Observe na nossa figura que:

T 1,2 = T 1,3 = 40 ° C

T 2,1 = T 3,1 = 20 ° C

T 2,4 = T 3,4 = 20 ° C

T 4,2 = T 4,3 = 10 ° C

Usando a relação para determinar a temperatura dos pontos do interior da placa, temos:

T 22 = 40 + T 3,2 + 20 + T 2,3 4 T 2,3 = 40 + 10 + T 2 , 2 + T 2 , 4 4 T 3,2 = T 2,2 + 10 + 20 + T 3,3 4 T 3,3 = T 2,3 + 10 + T 3,2 + 20 4  

Reorganizando esse sistema de equações, temos que:

4 T 22 - T 2,3 - T 3,2 = 50 - T 2,2 + 4 T 2,3 - T 3,3 = 30 - T 2,2 + 4 T 3,2 - T 3,3 = 70 - T 2,3 - T 3,2 + 4 T 3,3 = 50

Por fim, basta apenas resolver o sistema linear acima para encontrar as temperaturas em cada ponto da malha.

Resposta

T 2,2 = 25 ° C ; T 2,3 = 20 ° C ; T 3,2 = 30 ° C ; T 3,3 = 25 ° C .

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