Enunciado

O plano π 1 contém A = ( 1 ,   0 ,   0 ) , B = ( 0 ,   1 ,   0 ) e C = ( 0 ,   0 ,   1 ) , o plano π 2 contém Q = ( - 1 ,   - 1 ,   0 ) e é paralelo a u → = ( 0 ,   1 ,   - 1 ) e v → = ( 1 ,   0 ,   1 ) , e o plano π 3 tem equação X = 1 ,   1 ,   1 + λ - 2 ,   1 ,   0 + μ ( 1 ,   0 ,   1 ) .

a) Obtenha equações gerais dos três planos.

b) Mostre que a interseção dos três planos se reduz a um único ponto e determine-o.

Passo 1

a) Vamos começar pelo plano π 1 . Ele contém os pontos A ,   B e C , logo, tem como vetores diretores A B → e A C → , certo?

Como queremos equações gerais, precisamos de um vetor normal desse plano, que vai ser o produto vetorial entre A B → e A C → :

A B → = B - A = ( - 1 ,   1 ,   0 )

A C → = C - A = ( - 1 ,   0 ,   1 )

A B → ∧ A C → = ( 1 ,   1 ,   1 )

Então, a equação desse plano tem o formato:

1 x + 1 y + 1 z + d = 0

Para encontrarmos d , vamos substituir o ponto A nessa equação:

1.1 + 1.0 + 1.0 + d = 0

d = - 1

Então a equação é:

x + y + z - 1 = 0

Passo 2

Se o plano π 2 é paralelo a u → = ( 0 ,   1 ,   - 1 ) e v → = ( 1 ,   0 ,   1 ) , seu vetor normal vai ser o produto vetorial:

u → ∧ v → = ( 1 ,   - 1 ,   - 1 )

Então a equação geral desse plano é escrita assim:

x - y - z + d = 0

Para encontrarmos d , vamos substituir o ponto Q nessa equação:

- 1 - ( - 1 ) - 0 + d = 0

d = 0

Assim:

x - y - z = 0

Passo 3

Para π 3 , sabemos seus vetores diretores, então podemos encontrar seu vetor normal pelo produto vetorial:

- 2 ,   1 ,   0 ∧ 1 ,   0 ,   1 = ( 1 ,   2 ,   - 1 )

Então a equação desse plano é escrita assim:

1 x + 2 y - z + d = 0

Para encontrarmos d , vamos substituir o ponto ( 1 ,   1 ,   1 ) da equação vetorial do plano:

1.1 + 2.1 - 1 + d = 0

d = - 2

Então, a equação do plano é

1 x + 2 y - z - 2 = 0

Passo 4

b) Para encontrarmos a intersecção dos 3 planos, vamos resolver o sistema:

x + y + z - 1 = 0 x - y - z = 0 x + 2 y - z - 2 = 0

x + y + z = 1 x - y + z = 0 x + 2 y - z = 2

Pois queremos encontrar um ponto que satisfaça as 3 equações.

Resolvendo esse sistema por escalonamento, encontramos o ponto

P = 1 2 , 2 3 ,   - 1 6

Resposta

a) π 1 :   x + y + z - 1 = 0

π 2 : x - y - z = 0

π 3 :   1 x + 2 y - z - 2 = 0  

b) P = 1 2 , 2 3 ,   - 1 6

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

De a posição relativa dos seguintes ternos de planos:3x + 2y − z = 8, 2x − 5y + 2z = −3, x − y + z = 1
De a posição relativa dos seguintes ternos de planos:x − 2y + 3z = 2, 3x + y − 2z = 1, 5x − 3y + 4z = 4
De a posição relativa dos seguintes ternos de planos: 2 x + y + z = 1 ; x + 3 y + z = 2 ; x + y + 4 z = 3
De a posição relativa dos seguintes ternos de planos:−4x + 2y − 4z = 6, 3x + y + 2z = 2, 2x − y + 2z = −3
De a posição relativa dos seguintes ternos de planos:2x − y + z = 3, 3x − 2y − z = −1, 2x − y + 3z = 7