Enunciado

  1. Dê um ponto e um vetor diretor da reta relativa da reta r , interseção dos planos
  2.     2 x   +   2 y - z   +   4 = 0

    x   - 2 y   -   2 z   - 1   =   0 .

  3. A reta r tem um ponto de ordenada 3   ( y = 3 ) ? Qual?

Passo 1

  1. Fala, galera! Interseção de planos parece ser um negócio bem complicado né? Mas calma que a gente Responde Aí para você. Primeiro, vamos supor que a reta encontre pelo menos um dos três planos coordenados. Para exemplificar: quando a reta corta o plano x y , então a coordenada z = 0 . Vamos fazer z = 0 nas equações dos dois planos e ver se dá para determinar valores válidos de x e y :
  2. 2 x   +   2 y - z   +   4 = 0 ⇒ 2 x   +   2 y = - 4

    x   - 2 y   -   2 z   - 1   =   0 ⇒ x   - 2 y   = 1

    Somando as duas equações, encontramos

    3 x   = - 3 ⇒ x = - 1

    Agora, substituímos esse resultado na primeira equação:

    2 x   +   2 y = - 4 ⇒ - 2 +   2 y = - 4 ⇒   2 y = - 2 ⇒ y = - 1

    Com isso, conseguimos identificar um ponto A = ( - 1 , - 1,0 ) pertencente a reta r .

    Agora, precisamos do vetor diretor da reta. E é aí que vem o pulo do gato. Como a reta pertence aos dois planos, então seu vetor diretor será ortogonal a ambos os vetores normais aos planos, que são:

    n → 1 = ( 2,2 , - 1 )

    n → 2 = ( 1 , - 2 , - 2 )

    Quando queremos descobrir um vetor ortogonal a outros dois vetores, o melhor caminho é calculando o produto vetorial:

    Então, o vetor diretor da reta é proporcional ao vetor que acabamos de descobrir, ou seja, v → r = ( - 6,3 - 6 ) . Lembrando que A = ( - 1 , - 1,0 ) pertencente a reta r , podemos encontrar a equação paramétrica da reta

    x = - 1 - 6 λ

    y = - 1 + 3 λ

    z = - 6 λ

    Passo 2

  3. Para saber se a reta r tem um ponto de ordenada 3   ( y = 3 ) , vamos substituir esse esse valor na equação da reta, descobrir para qual parâmetro λ temos essa coordenada e substituir nas demais coordenadas:

y = - 1 + 3 λ = 3 ⇒ 3 λ = 4 ⇒ λ = 4 3

Agora, vamos para as outras coordenadas:

x = - 1 - 6 λ = - 1 - 6 4 3 = - 1 - 8 = - 9

z = - 6 λ = - 6 4 3 = - 8

Assim, o ponto de ordenada 3   ( y = 3 ) é dado por ( - 9,3 , - 8 ) .

Resposta

  1. ( - 1 , - 1,0 ) , v → r = ( - 6,3 - 6 )
  2. ( - 9,3 , - 8 )

Exercícios de Livros Relacionados

Quais dos seguintes pares de plano se cortam segundo uma reta?b) 2x – y + 4z + 3 = 0 e 4x – 2y + 8z = 0
Determine as equações paramétricas da reta interseção dos planos:b) x – y = 0 e x + z = 0
Determine as equações paramétricas da reta interseção dos planos:x + 2y – 3z – 4 = 0 e x – 4y + 2z + 1 = 0
Quais dos seguintes pares de plano se cortam segundo uma reta?c) x – y = 0 e x + z = 0
Estude a posição relativa da reta x - 1 2 =y + 3 2 = z - 1 - 3 e o plano x + 2 y+2 z+6=0 .Determine o ponto de interseção ou a distância entre eles.