Enunciado

Os pontos A, B, C e D são vértices consecutivos de um paralelogramo. A B   →   =   x   → , A D   →   =   y   → , A P   →   =   1 3 x   → , A Q   →   = 3 4   y   → e F é a interseção de P Q   → e A C   → . Escreva Q F   → em função de x   → e y   → .

Passo 1

A questão pede para escrever Q F   → em função de x   → e y   → . A maneira de fazer isso é partir do fato de que Q F   → deve ser proporcional a Q P   → porque os dois vetores têm direção e sentido. Assim,, Q F   → = α Q P → , e temos que determinar α . Na figura abaixo, vemos que

Q P → = Q A → + A P → = - A Q → + A P → = - 3 4   y   → + 1 3 x   →

Logo,

Q F → = α Q P → = α - 3 4   y   → + 1 3 x   →

Passo 2

Também podemos obter Q F → pelo caminho QAF:

Q F → = Q A → + A F → = - A Q → + A F →

Não temos como saber exatamente quanto é A F → em termos de x   → e y   → , mas sabemos que deve ser proporcional a A C → , ou seja, A F → = β A C → . O vetor A C → , por outro lado, pode ser determinado. Para tanto, temos que notar que A B → = D C → porque esses dois vetores têm o mesmo módulo, direção e sentido. Belezinha até aqui? Continuando o raciocínio, podemos escrever A C → como

A C → =   A D → +   D C → = x → + y →

Então, A F → = β A C → = β x → + y → e

Q F → = - A Q → + A F → = - 3 4   y   → + β x → + y →

Passo 3

Nos passos anteriores, obtivemos Q F → de duas formas diferentes, mas que devem ser iguais no final das contas. Isso quer dizer que

Q F → = - A Q → + A F → = - 3 4   y   → + β x → + y → = α - 3 4   y   → + 1 3 x   → ⇒ α 3 - β x   → = - 3 4 + 3 4 α + β y →

Sabemos que x   → e y   → não são paralelos. Então, a única maneira do resultado acima ser verdadeiro, é se tivermos um vetor nulo em ambos os lados. x   → e y   → também não são nulos, então a única opção restante é que os coeficientes sejam nulos:

α 3 - β = 0 ⇒ α 3 = β

- 3 4 + 3 4 α + β = 0 ⇒ - 3 4 + 3 4 α + α 3 = - 3 4 + ( 9 + 4 ) 12 α = - 3 4 + 13 12 α = 0 ⇒ 13 12 α = 3 4

⇒ α = 12 13 3 4 = 9 13

Substituindo esse valor na expressão encontrada no Passo 1, obtemos

Q F → = α - 3 4   y   → + 1 3 x   → = 9 13 - 3 4   y   → + 1 3 x   → = - 27 52   y   → + 3 13 x   →

Resposta

Q F → = - 27 52   y   → + 3 13 x   →

Exercícios de Livros Relacionados

Dados os vetores u e v , prove que as afirmações seguintes são equivalentes: e) Todo vetor do plano é combinação linear de uev .
No trapézio ao lado, D C → = 1 3 A B → , A N → = 1 3 A D → , A M → = 3 4 A B → e C F → = α C N → . Determine α .
No triângulo ABC, C A → = a → e C B → = b → ; X é tal que X B → = 3 A X → e Y é tal que 3 Y C → = 2 Y B → . Coloque X e Y na figura, em posição correta, fazendo os cálculos necessários.Escreva C X → ,
Desenhe dois vetores não paralelos x → e y → . Em seguida, desenhe A B → = 5 x → , A C → = y → , C D → = 7 x → , E C → = 2 x → - y → e F D → = 2 5 D B → . Escreva E F → em função de x → e y → .
É dado um triângulo ABC e o ponto X sobre a reta AB tal que X B → = 4X A → . Sejam A B → = b → e A C → = c → Determine o vetor C X → em função de b → e c → .Seja M o ponto médio de C X → . Escreva B M