Enunciado

O problema apresenta um conjunto com as operações de adição e multiplicação por escalar nele definida. Verificar se é um espaço vetorial, e se não for, cite os axiomas que não se verificam.

R 2 ,   x , y + x ' , y ' = x + x ' ,   y + y '

α x , y = ( α 2 x ,   α 2 y )

Passo 1

Fala meu querido, como nos exercícios anteriores, vou começar listando os axiomas que tem que ser atendidos para que o subconjunto apresentado seja considerado subespaço, então para não ficar perdido:

A 1 )   u + v + w = u + v + w

A 2 )   u + v = v + u

A 3 )   u + 0 = u

A 4 )   ∀ u ,   ∃ - u ,   u + - u = 0

M 1 )   α β u = α ( β u )

M 2 )   α + β u = α u + β u

M 3 )   α u + v = α u + α v

M 4 )   1 u = u

Passo 2

Bom, galera, essa primeira propriedade que ele deu parece bem certinha, né? Dá uma olhada:

x , y + x ' , y ' = x + x ' ,   y + y '

Isso aí tem cara de soma de vetores, e uma soma fechada, onde o vetor que geramos faz parte do nosso conjunto, então o nosso problema não vai ser aí. O que pode gerar problema é a segunda propriedade!

α x , y = ( α 2 x ,   α 2 y )

A gente esperaria que as componentes fossem ficar multiplicadas por α , mas não com esse quadrado aí. Então vamos procurar logo nos axiomas M 1 ,   M 2 ,   M 3   e   M 4 quais não se verificam!

Passo 3

Pro axioma M 1 não vamos ter nenhum problema, já que ele é só uma questão de multiplicação em outra ordem. Vamos dar uma olhada, supondo u = ( x , y ) .

M 1 )

α β u = α β x ,   y

α β u = α 2 β 2 x ,   α 2 β 2 y

α β u = α 2 β 2 x , α 2 β 2 y

Só que pelo que ele diz para gente α x , y = α 2 x ,   α 2 y , então podemos escrever que o lado direito:

α β u = α β 2 x ,   β 2 y

E seguindo o mesmo raciocínio, β 2 x ,   β 2 y é o mesmo que β x , y ,   logo:

α β u = α β x , y

Então:

α β u = α β u

Essa vale vamos prosseguir para a próxima...

M 2 )

α + β u = α + β x , y

α + β u = α + β 2 x ,   α + β 2 y

α + β u = α 2 + 2 α β + β 2 x ,   α 2 + 2 α β + β 2 y

Aqui a gente já começa a perceber que esse quadrado da soma deu uma complicadinha, neh? Vamos continuar separando em três pares:

α + β u = α 2 x , α 2 y + 2 α β x ,   2 α β y + β 2 x ,   β 2 y

α + β u = α x , y + β x , y + 2 α β x ,   2 α β y

α + β u = α u + β u + 2 α β x ,   2 α β y

α + β u = ( α + β ) ( x , y ) + 2 α β x ,   2 α β y

Então isso é quase o axioma que a gente queria achar, mas tem um termo a mais somando que deixei evidente em negrito... Daí, como não é exatamente igual, podemos dizer que o axioma M 2 não vale, e se não vale um axioma, não é espaço vetorial!

Resposta

Não é espaço vetorial.

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