Responde Aí

Enunciado

No problema, é apresentado um subconjunto de R 2 . Verificar se é um subespaço vetorial do R 2 , relativamente às operações de adição e multiplicação por escalar usuais.

S = { x , y ,   y = - x }

Passo 1

Galera, pensa aí, quais são as condições pra um subconjunto ser um subespaço? São só essas duas:

I : Para quaisquer u ,   v ∈ S , u + v ∈ S ;

I I : Para quaisquer α ∈ R e u ∈ S , α u ∈ S .

Traduzindo, se dois vetores pertencem ao subespaço, a soma deles também pertence ao subespaço, e se um vetor pertence ao subespaço, a multiplicação dele por um escalar também pertence.

Passo 2

Então bora, vamos pegar dois vetores e testar essas propriedades.

u = a , - a

v = ( b ,   - b )

Para a soma:

u + v = a , - a + b , - b

u + v = a + b ,   - a - b

u + v = a + b ,   - a + b

Essa soma pertence ao subconjunto, já que atende y = - x .

Passo 3

Vamos pra multiplicação por escalar agora! Pega um vetor genérico w = ( x , - x ) .

α w = α x , - x

α w = ( α x ,   - α x )

Olha só que beleza, esse também atende o que a gente queria, a segunda componente é a primeira com sinal trocado também. Como atende às duas propriedades, ele é subespaço vetorial!

Resposta

S é subespaço.

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