Enunciado

No problema, é apresentado um subconjunto de R 3 . Verificar se é subespaço em relação às operações de adição e multiplicação por escalar usuais. Se for subespaço, mostrar que as duas condições estão satisfeitas. Caso contrário, citar um contra-exemplo.

S = { x , y , z ; x = z 2 }

Passo 1

Lembra aí das duas propriedades que a gente precisa pra um subconjunto ser subespaço:

I : Para quaisquer u ,   v ∈ S , u + v ∈ S ;

I I : Para quaisquer α ∈ R e u ∈ S , α u ∈ S .

Traduzindo, se dois vetores pertencem ao subespaço, a soma deles também pertence ao subespaço, e se um vetor pertence ao subespaço, a multiplicação dele por um escalar também pertence.

Um vetor desse subconjunto vai ser assim:

s = ( z 2 ,   y ,   z )

Então vamos pegar dois vetores genéricos pra testar as propriedades!

u = a 2 ,   b ,   a

v = ( c 2 ,   d ,   c )

Passo 2

Vamos dar uma olhada na soma dos vetores:

u + v = a 2 , b ,   a + ( c 2 ,   d ,   c )

u + v = ( a 2 + c 2 ,   b + d ,   a + c )

Hum, que coisa, essa não serviu... a gente precisava que a primeira componente fosse igual ao quadrado da terceira, mas isso não acontece. Cuidado pra não se confundir e dizer que a + c 2 é igual a a 2 + c 2 . Isso é um crime!!! O certo esse aqui de baixo!

a + c 2 = a 2 + c 2 + 2 a c

Se uma das propriedades não serve, o subconjunto não é subespaço.

Passo 3

Pega um contraexemplo pra gente confirmar essa parada.

u = 1 ,   1 ,   1

v = 4 ,   1 ,   1

Os dois estão no subconjunto, mas...

u + v = ( 5 ,   2 ,   2 )

A soma não está!

Resposta

Não é subespaço.

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