Responde Aí

Enunciado

No problema, é apresentado um subconjunto de R 3 . Verificar se é subespaço em relação às operações de adição e multiplicação por escalar usuais. Se for subespaço, mostrar que as duas condições estão satisfeitas. Caso contrário, citar um contra-exemplo.

S = { x ,   x ,   0 ; x ∈ R }

Passo 1

As duas propriedades que a gente precisa pra um subconjunto ser subespaço são:

I : Para quaisquer u ,   v ∈ S , u + v ∈ S ;

I I : Para quaisquer α ∈ R e u ∈ S , α u ∈ S .

Assim, se dois vetores pertencem ao subespaço, a soma deles também pertence ao subespaço, e se um vetor pertence ao subespaço, a multiplicação dele por um escalar também pertence.

Um vetor genéricão desse subconjunto vai ser assim:

s = ( x ,   x ,   0 )

Então vamos pegar dois vetores genéricos pra testar as propriedades!

u = a ,   a ,   0

v = ( b ,   b ,   0 )

Passo 2

Vamos dar uma olhada na soma dos vetores:

u + v = a ,   a , 0 + b ,   b , 0

u + v = ( a + b ,   a + b ,   0 )

Show de bola, a primeira e a segunda componentes são iguais e a terceira é zero, do jeitinho que a gente queria. A primeira propriedade vale! Vamos ver a segunda agora.

Passo 3

Pra multiplicação, vamos pegar um escalar qualquer α :

α s = α x ,   x ,   0

α s = ( α x ,   α x ,   0 )

Beleza, essa também vale! Se as duas propriedades servem, o subconjunto é subespaço vetorial!

Resposta

É um subespaço.

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