Enunciado

No problema, é apresentado um subconjunto de R 3 . Verificar se é subespaço em relação às operações de adição e multiplicação por escalar usuais. Se for subespaço, mostrar que as duas condições estão satisfeitas. Caso contrário, citar um contra-exemplo.

S = { 4 t ,   2 t ,   - t ; t ∈ R }

Passo 1

A gente precisa verificar se valem duas propriedades:

I : Para quaisquer u ,   v ∈ S , u + v ∈ S ;

I I : Para quaisquer α ∈ R e u ∈ S , α u ∈ S .

Daí, se dois vetores pertencem ao subespaço, a soma deles também pertence ao subespaço, e se um vetor pertence ao subespaço, a multiplicação dele por um escalar também pertence.

Um vetor desse subconjunto vai ser desse formato:

s = ( 4 t ,   2 t , - t )

Agora a gente pega dois vetores genéricos pra testar!

u = 4 x ,   2 x ,   - x

v = ( 4 y ,   2 y ,   - y )

Passo 2

A soma dos vetores vai ficar:

u + v = 4 x ,   2 x ,   - x + 4 y ,   2 y ,   - y

u + v = 4 x + 4 y ,   2 x + 2 y ,   - x - y

u + v = 4 x + y ,   2 x + y ,   - x + y

Tem a cara certinha do nosso vetor genérico, né? Quatro vezes o primeiro, duas vezes o segundo, o terceiro com sinal de menos... Beleza, esse cara pertence ao subconjunto! Bora pra multiplicação!

Passo 3

Pra multiplicar, vamos pegar um escalar qualquer α :

α s = α 4 t , 2 t ,   - t

α s = ( 4 α t ,   2 α t ,   - α t )

Também ficou direitinho, né, galera? Esse aí também tá no subconjunto, e aí se as duas propriedades valeram, o subconjunto é um subespaço!

Resposta

É um subespaço.

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f. ( x , y , z ) , tais que x = - z ;
1.2.2 Considere os seguintes conjuntos de vetores. Quais deles são subespaços de R 4 ?a. ( x , y , z , w ) , tais que x - y = 2 ;
a . A = 1 1 2 - 1 2 3 6 - 2 - 2 1 2 2
d. ( x , y , z ) , tais que z = 0 e x y ≥ 0 ;
c. ( x , y , z ) , tais que z ≥ 0