Enunciado

Efetuar uma rotação e uma translação de eixos para referir a quádrica ao sistema O ' X Y Z e identifica-la.

7 x 2 + 6 y 2 + 5 z 2 - 4 x y - 4 y z - 18 = 0

Passo 1

O problema pede para efetuarmos uma rotação e uma translação de eixos para obter uma equação reduzida e que não tenha termos mistos para a quádrica dada. Para isso, você deve usar o seguinte procedimento:

a x 2 + b y 2 + c z 2 + 2 d x y + 2 e x z + 2 f y z = x y z   a d e d b f e f c   x y z

Assim, temos que

7 x 2 + 6 y 2 + 5 z 2 - 4 x y - 4 y z = x y z   7 - 2 0 - 2 6 - 2 0 - 2 5   x y z

Nosso objetivo vai ser diagonalizar essa matriz! Vamos procurar os autovalores:

7 - λ - 2 0 - 2 6 - λ - 2 0 - 2 5 - λ = 0

Assim,

7 - λ ⋅ 6 - λ 5 - λ - 4 + 2 ⋅ - 10 + 2 λ = 0

Portanto,

7 - λ λ 2 - 11 λ + 26 - 20 + 4 λ = 0

Logo,

7 λ 2 - 77 λ + 182 - λ 3 + 11 λ 2 - 26 λ - 20 + 4 λ = 0 ⇒ λ 3 - 18 λ 2 + 99 λ - 162 = 0

As soluções dessa equação são os autovalores:

λ 1 = 3 ,           λ 2 = 6             e             λ 3 = 9

Assim, o termo quadrático pode ser reescrito como

x ' y ' z '   3 0 0 0 6 0 0 0 9   x ' y ' z ' = 3 x ' 2 + 6 y ' 2 + 9 z ' 2

Passo 2

Como na equação não aparecem termos lineares em x , y e z , não precisamos escrever estes em termos de x ' , y ' e z ' . Desta forma, não é necessário encontrar os autovetores da matriz!

Reescrevendo a equação nas novas coordenadas:

3 x ' 2 + 6 y ' 2 + 9 z ' 2 - 18 = 0

Assim,

x ' 2 6 + y ' 2 3 + z ' 2 2 = 1

Trata-se de um elipsoide!

Resposta

X 2 6 + Y 2 3 + Z 2 2 = 1

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