Responde Aí

Enunciado

No problema, é apresentado um subconjunto de R 3 . Verificar se é subespaço em relação às operações de adição e multiplicação por escalar usuais. Se for subespaço, mostrar que as duas condições estão satisfeitas. Caso contrário, citar um contra-exemplo.

S = { x ,   y , z ; x y = 0 }

Passo 1

O importante é lembrar as duas propriedades que a gente precisa pra um subconjunto ser subespaço:

I : Para quaisquer u ,   v ∈ S , u + v ∈ S ;

I I : Para quaisquer α ∈ R e u ∈ S , α u ∈ S .

Daí, se dois vetores pertencem ao subespaço, a soma deles também pertence ao subespaço, e se um vetor pertence ao subespaço, a multiplicação dele por um escalar também pertence.

Um vetor desse subconjunto vai ser:

s = ( x ,   y ,   z )

A gente tem a condição de que pelo menos um deles, x ou y , é igual a 0 , já que o produto deles é nulo.

Passo 2

Essa condição é meio esquisita de escrever, então a melhor coisa que a gente pode fazer é começar pegando exemplo. Ó, bora lá, pega dois vetores que servem lá, o mais simples possíveis.

u = ( 0 ,   1 ,   1 )

v = 1 ,   0 ,   1

Viu, o produto das duas primeiras componentes é zero nos dois, então eles servem. Agora olha a soma deles!

u + v = 1 ,   1 ,   2

Ih, rapaz, a primeira componente vezes a segunda não tá dando zero! Então pô, não necessariamente a soma tá no subconjunto, e daí não podemos garantir que é subespaço!

Resposta

Não é subespaço.

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