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No problema, é apresentado um subconjunto de R 3 . Verificar se é subespaço em relação às operações de adição e multiplicação por escalar usuais. Se for subespaço, mostrar que as duas condições estão satisfeitas. Caso contrário, citar um contra-exemplo.

S = { x , y , z ; x = 0   e   y = z }

Passo 1

Repetindo sempre isso! As duas propriedades que a gente precisa pra um subconjunto ser subespaço são:

I : Para quaisquer u ,   v ∈ S , u + v ∈ S ;

I I : Para quaisquer α ∈ R e u ∈ S , α u ∈ S .

E aí que se dois vetores pertencem ao subespaço, a soma deles também pertence ao subespaço, e se um vetor pertence ao subespaço, a multiplicação dele por um escalar também pertence.

Um vetor qualquer desse subconjunto vai ser assim:

s = ( 0 ,   | z | ,   z )

Então vamos pegar dois vetores genéricos pra testar as propriedades!

u = 0 ,   a ,   a

v = ( 0 , b ,   b )

Passo 2

Vamos dar uma olhada na soma dos vetores:

u + v = 0 ,   a ,   a + 0 ,   b ,   b

u + v = 0 ,   a + b ,   a + b

Hum... será que isso aí dá certo sempre? Bom, pra dois números positivos essa parada até dá certo, mas se botar um deles negativo já dá ruim, olha só!

Passo 3

Se u = ( 0 ,   1 ,   - 1 ) e v = ( 0 ,   2 ,   2 ) ,

u + v = 0 ,   1 ,   - 1 + 0 ,   2 ,   2

u + v = ( 0 ,   3 ,   1 )

Pô, já deu errado de cara! Como essa propriedade não é verdadeira sempre, não podemos dizer que é um subespaço.

Resposta

Não é um subespaço.

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