Enunciado

Problema-pesquisa:

Seja

M a ⋯ a a M ⋯ a ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a a ⋯ M n × n

Onde M e a ≠ 0 são números reais. Mostre que

  1. Os autovalores de A são
  2. λ = M - a , com multiplicidade n - 1

    E u = M + ( n - 1 ) a

  3. det ⁡ A = M - a n - 1 [ M + ( n - 1 ) a ]

(Este é um caso particular da situação estudada no artigo “sobre uma classe de matrizes cujo problema de autovalores é facilmente solucionável” de Odelar Leite Linhares, publicado na revista Ciência e Cultura (SBPC) volume 29, número 8, de agosto de 1977)

Passo 1

  1. Quando queremos calcular os autovalores de uma matriz o que fazemos? Isso mesmo:
  2. λ - M - a ⋯ - a - a λ - M ⋯ - a ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ - a - a ⋯ λ - M n × n = 0

    Mas essa matriz é enorme, o que fazer agora?

    Calma, observe que se você subtrair a segunda coluna da primeira você obtém:

    λ - M + a - a ⋯ - a - a - λ + M λ - M ⋯ - a ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 - a ⋯ λ - M n × n = 0

    Observe então que dá pra fatorar λ - M + a da primeira coluna:

    λ - M + a 1 - a ⋯ - a - 1 λ - M ⋯ - a ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 - a ⋯ λ - M n × n = 0

    Isso é muito bom, pois podemos usar Chió para reduzir a ordem desse determinante gigante:

    λ - M + a λ - M - a - 2 a ⋯ - 2 a - a λ - M ⋯ - a ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ - a - a ⋯ λ - M n - 1 × n - 1 = 0

    E agora? Agora faz a mesma coisa, coluna 1 – coluna 2:

    λ - M + a λ - M + a - 2 a ⋯ - 2 a - a - λ + M λ - M ⋯ - a ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 - a ⋯ λ - M n - 1 × n - 1 = 0

    Fatora denovo:

    λ - M + a 2 1 - 2 a ⋯ - 2 a - 1 λ - M ⋯ - a ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 - a ⋯ λ - M n - 1 × n - 1 = 0

    Aplica Chió denovo:

    λ - M + a 2 λ - M - 2 a - 3 a ⋯ - 3 a - a λ - M ⋯ - a ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ - a - a ⋯ λ - M n - 2 × n - 2 = 0

    Observe que dá pra fazer isso até chegar na ordem 2, que seguindo a lógica, obtemos:

    λ - M + a n - 2 λ - M - ( n - 2 ) a - ( n - 1 ) a - a λ - M

    Ai você faz a mesma coisa:

    λ - M + a n - 2 λ - M + a - ( n - 1 ) a - a - λ + M λ - M

    Ai fatora:

    λ - M + a n - 1 1 - ( n - 1 ) a - 1 λ - M

    Agora é só resolver o determinante:

    λ - M + a n - 1 λ - M - n - 1 a = 0

    Veja então do resultado acima que M - a é raíz com multiplicidade n - 1 e u = M + ( n - 1 ) a também é raíz.

    Passo 2

  3. Bom, vamos lembrar a definição de polinômio característico:

P λ = det ⁡ ( λ I - A )

Veja que:

P 0 = det ⁡ ( - A ) = - 1 n det ⁡ A

Mas temos que:

P λ = λ - M + a n - 1 λ - M - n - 1 a

Do que segue que:

P 0 = M - a n - 1 ( M + ( n - 1 ) a ) ∙ - 1 n

Agora é só igualar:

- 1 n det ⁡ A = M - a n - 1 ( M + ( n - 1 ) a ) ∙ - 1 n

Ou seja:

det ⁡ A = M - a n - 1 ( M + ( n - 1 ) a )

Resposta

Demonstração.

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Verifique quais matrizes são diagonalizáveis: 1 4 1 - 2 b) 1 0 - 2 1 c) 1 1 - 2 4 0 4 1 - 1 4 d) 1 2 3 0 - 1 2 0 0 2