Enunciado

Provar que o conjunto de funções e a t cos ⁡ b t , e a t sin ⁡ b t , onde a e b são números reais e b ≠ 0 , é L.I.

Passo 1

Show de buelas galera, se o conjunto e a t cos ⁡ b t , e a t sin ⁡ b t é L.I então quer dizer que

a 1 e a t cos ⁡ b t + a 2 e a t sin ⁡ b t = 0

Implica que a 1 = a 2 = 0 .

Passo 2

Colocando e a t em evidência temos que

a 1 e a t cos ⁡ b t + a 2 e a t sin ⁡ b t = 0

e a t a 1 cos ⁡ b t + a 2 sin ⁡ b t = 0

E sabemos que e a t , para qualquer a t sempre vai ser maior que 0 , e a t > 0 . Então temos que

a 1 cos ⁡ b t + a 2 sin ⁡ b t = 0

Logo, sin ⁡ b t e cos ⁡ b t para algum t são funções trigonométricas distintas e só podem se anular caso a 1 = a 2 = 0 . Logo a única solução para o sistema é a trivial, e nosso conjunto é L.I.

Resposta

Demonstração.

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