Enunciado

Se { u 1 ,   … ,   u i ,   … ,   u j ,   … ,   u n } é L.I, mostrar que

u 1 ,   … ,   u i ,   … ,   u j + α u i ,   … ,   u n

Também é L.I, para todo escalar α .

Passo 1

Show de buelas galera, se o conjunto { u 1 ,   … ,   u i ,   … ,   u j ,   … ,   u n } é L.I, então todos os vetores desse conjunto são L.I dois a dois, então para um vetor qualquer desse conjunto, u j , não existe escalares a tais que

u j = a 1 u 1 + ⋯ + a i u i + ⋯ + a n u n

Ou seja, u j não pode ser gerado pelos demais vetores, logo u j é L.I aos demais e a única maneira que nós temos de gerar esse vetor u j é com o próprio u j .

Passo 2

Então no conjunto { u 1 ,   … ,   u i ,   … ,   u j ,   … ,   u n } , substituímos u j por u j + α u i e ficamos com o conjunto u 1 ,   … ,   u i ,   … ,   u j + α u i ,   … ,   u n e queremos saber se ele é L.I também, MAAASSSS como u j + α u i é uma combinação linear de u j   e u i , quer dizer que u j + α u i ainda possui o vetor u j e também continua sendo L.I aos demais já que para gerar ele precisamos de u j , ou seja, não existe escalares a tais que

u j + α u i = a 1 u 1 + ⋯ + a i u i + ⋯ + a n u n

A não ser que tenhamos o vetor u j para realizar a combinação. Portanto u 1 ,   … ,   u i ,   … ,   u j + α u i ,   … ,   u n por continuar contendo u j também é L.I.

Resposta

Demonstração.

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Considere o vetor f 1 = ( 1 2 , 3 2 ) .a) Escolha f 2 de forma que S = { f 1 , f 2 } seja base ortonormal do R 2 . Mostre que S é base.
Determine uma base para a reta interseção dos planos x - 7y + 5z = 0 e 3x – y + z = 0.
Sejam V 1 = 4 ,2 ,- 3 ,V 2 = ( 2 ,1 ,- 2 ) e V 3 = ( - 2 ,- 1 ,0 ) .b) Mostre que V 1 e V 2 são L.I.
Encontre um conjunto de geradores para o espaço solução do sistema homogêneo AX = 0, em que A = 1 0 1 0 1 2 3 1 2 1 3 1