Enunciado

Provar que os pontos A - 1 ,   2 ,   3 , B - 3 ,   6 ,   0 e C - 4 ,   7 ,   2 são vértices de um triângulo retângulo.

Passo 1

Então pessoal, a fim de facilitar nossa visualização sobre o problema, vamos esboçar um triângulo retângulo qualquer:

Vale ressaltar que não podemos indicar quem são os vértices A , B e C na figura porque eles podem estar em qualquer lugar, então vamos evitar essa confusão desnecessária, ok? Show! Como é um triângulo retângulo, então temos:

A B → = B - A = - 3 ,   6 ,   0 - - 1 ,   2 ,   3 = - 2 ,   4 ,   - 3

B C → = C - B = - 4 ,   7 ,   2 - - 3 ,   6 ,   0 = - 1 ,   1 ,   2

A C → = C - A = - 4 ,   7 ,   2 - - 1 ,   2 ,   3 = - 3 ,   5 ,   - 1

Que são os lados do triângulo em questão. Se o triângulo é retângulo, então o teorema de Pitágoras é válido, certo? Sendo assim, temos que calcular o módulo desses lados para ver se o teorema está sendo satisfeito ou não. Bora que bora!

Passo 2

Calculando o módulo dos três vetores que escrevemos no passo 1 :

A B → = - 2 2 + 4 2 + - 3 2

A B → = 29

Agora para o segundo vetor:

B C → = - 1 2 + 1 2 + 2 2

B C → = 6

Para o último vetor:

A C → = - 3 2 + 5 2 + - 1 2

A C → = 35

Show!

Passo 3

A hipotenusa do triângulo retângulo é considerado o maior lado do triângulo, certo? De acordo com nosso cálculos no passo 2 , nossa hipotenusa teria que ser o vetor A C → , pois ele possui o maior módulo! Sendo assim, os outros dois vetores são os catetos. Pelo teorema de Pitágoras novamente:

h i p o t e n u s a 2 = c a t e t o   1 2 + c a t e t o   2 2

h i p o t e n u s a 2 = 29 2 + 6 2

h i p o t e n u s a 2 = 29 + 6

∴ h i p o t e n u s a = 35

Que é exatamente o valor que encontramos no passo 2 . Sendo assim, podemos concluir que os pontos A , B e C são, de fato, vértices de um triângulo retângulo.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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