Enunciado

Prove: se λ for um autovalor de A com autovetor associado x , então λ é um autovalor de s A com autovetor associado x , qualquer que seja o escalar   s .

Passo 1

Vamos lá! Sendo nossa matriz A dada por:

A = 2 1 4 5

Agora vamos calcular nossos autovalores pela formula A - λ I = 0 .

2 - λ 1 4 5 - λ = λ 2 - 7 λ + 6 = 0

λ 2 - 7 λ + 6 = 0

Como se trata de uma equação do segundo grau podemos resolver por Bhaskara assim chegamos a:

λ 1 = 6 ,   λ 2 = 1

Para esses autovalores usando a formula A - λ I ⋅ x = 0 , para λ 1 temos:

- 4 1 4 - 1 ⋅ x 1 x 2 = 0 0 ,   x 1 x 2 = t ⋅ 1 4 1  

u 1 = 1 4 1

Para λ 2 temos:

1 1 4 4 ⋅ x 1 x 2 = 0 0 ,   x 1 x 2 = t ⋅ 1 - 1

u 2 = 1 - 1

Passo 2

Agora vamos lá! Sendo nossa matriz s A , para s = 2 dada por:

s A = 4 2 8 10

4 - λ ' 2 8 10 - λ ' = λ ' 2 - 14 λ ' + 24 = 0

λ ' 2 - 14 λ ' + 24 = 0

Como se trata de uma equação do segundo grau podemos resolver por Bhaskara assim chegamos a:

λ ' 1 = 12 ,   λ ' 2 = 2

Para esses autovalores usando a formula A - λ ' I ⋅ x ' = 0 , para λ ' 1 temos:

- 8 2 8 - 2 ⋅ x ' 1 x ' 2 = 0 0 ,   x ' 1 x ' 2 = t ⋅ 1 4 1  

u 1 ' = 1 4 1

Para λ ' 2 temos:

2 2 8 8 ⋅ x ' 1 x ' 2 = 0 0 ,   x ' 1 x ' 2 = t ⋅ 1 - 1

u 2 ' = 1 - 1

Passo 3

Analisando nossos autovalores temos que:

λ 1 = 6 ,   λ 2 = 1

E

λ ' 1 = 12 ,   λ ' 2 = 2

Logo nossos autovalores seguem a regra λ ' = s λ

E nossos autovetores:

u 1 = 1 4 1 ,   u 2 = 1 - 1

E

u ' 1 = 1 4 1 ,   u ' 2 = 1 - 1

Logo nossos autovetores são idênticos, assim temos que pra uma matriz s A teremos s λ e x .

Isso é tudo pessoal! =D

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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