Enunciado

Prove: se A for invertível, então A + B e I + B A - 1 são ambas invertíveis ou ambas não invertíveis.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Se A é invertível, então A - 1 existe e:

A A - 1 = A - 1 A = I

Agora vamos considerar a equação do enunciado:

A + B

Multiplicando por A - 1 , temos que:

A + B A - 1 = A A - 1 + B A - 1

Como:

A + B C = A C + B C

Temos que:

A + B A - 1 = I + B A - 1

Sabe-se que o produto de duas matrizes invertíveis é invertível, portanto, se A + B é uma matriz invertível, o produto A + B A - 1 também será invertível.

Assim, se A + B for invertível, I + B A - 1 também será, e se A + B não for invertível, a matriz I + B A - 1 também não será.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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