Enunciado

Prove: se A for uma matriz m × n e B , a matriz n × 1 com todas as entradas iguais a 1 / n , então

A B = r - 1 r - 2 ⋮ r - m

Em que r - i é a média das entradas na i - é s i m a linha de A .

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Vamos considerar a matriz A m × n como:

A = a 11 a 21 ⋮ a m 1       a 1 2 a 2 2 ⋮ a m 2       ⋯ ⋯ ⋮ ⋯       a 1 n a 2 n ⋮ a m n

E a matriz B n × 1 com entradas 1 / n como:

B = 1 n 1 n ⋮ 1 n

Portanto o produto de uma matriz m × n por uma matriz n × 1 gera uma matriz m × 1 :

A B = a 11 a 21 ⋮ a m 1       a 12 a 22 ⋮ a m 2       ⋯ ⋯ ⋮ ⋯       a 1 n a 2 n ⋮ a m n ⋅ 1 n 1 n ⋮ 1 n

A B = a 11 n + a 1 2 n + ⋯ + a 1 n n a 2 1 n + a 2 2 n + ⋯ + a 2 n n ⋮ a m 1 n + a m 2 n + ⋯ + a m n n

Ou:

A B = a 11 + a 12 + ⋯ + a 1 n n a 2 1 + a 2 2 + ⋯ + a 2 n n ⋮ a m 1 + a m 2 + ⋯ + a m n n

Assim, a entrada em cada linha de A B é a média de todas as entradas nessa linha.

A B = r - 1 r - 2 ⋮ r - m

Onde r - i representa a média das entradas da i - ésima linha de A .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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