Enunciado

Dizemos que uma matriz A , n   x   n , é simétrica se A t = A e é anti-simétrica se A t = - A . (a)Mostre que se A é simétrica, então a i j = a j i , para i , j = 1 , … , n e que se A é anti-simétrica, então a i j = - a j i , para i , j = 1 , … , n . Portanto, os elementos da diagonal principal de uma matriz anti-simétrica são iguais a zero.

Passo 1

Fala aee, galera! Tudo bem? 😊

Vamos considerar a matriz A sendo:

A = a b c d e f g h i

Portanto:

- A = - a - b - c - d - e - f - g - h - i

Ah, vamos usar uma matriz 3   x   3 para deixar o exemplo mais visível. Para uma matriz n   x   n precisaríamos apenas adicionar as reticências.

Passo 2

Se A é uma matriz simétrica, então:

A = A t

A matriz transposta de A é dada por:

A t = a d g b e h c f i

Assim:

a 11 = a 11 = a

a 21 = a 12 = d

Portanto:

a i j = a j i

Passo 3

Se A é uma matriz anti-simétrica, então:

A t = - A

Ou seja:

a d g b e h c f i = - a - b - c - d - e - f - g - h - i

Assim:

a 11 = a 11 → a = - a

a 22 = a 22 → e = - e

Portanto:

a i j = - a j i = 0

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o

Exercícios de Livros Relacionados

(a)Mostre que se A é uma matriz mxn tal que A X = 0 , para toda matriz X , nx1 , então A = 0 .
Já vimos que o produto de matrizes não é comutativo. Entretanto, certos conjuntos de matrizes são comutativo. Mostre que: (a)Se D 1 e D 2 são matrizes diagonais nxn , então D 1 D 2 = D 2 D 1 .
Seja D = λ 1 0 … 0 0 λ 2 … 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 … 0 λ n uma matriz diagonal nxn , isto é, os elementos que estão fora da diagonal são iguais a zero. Seja A = a 11 a 12 … a 1 n a 21 a 22 … a 2 n ⋮ ⋮ … ⋮ a n 1 a
Dizemos que uma matriz A , nxn , é simétrica se A t = A e é anti-simétrica se A t = - A . (e)Mostre que para toda matriz A ,nxn ,A + A t é simétrica e A - A t é anti-simétrica.
Sejam A , B e C matrizes nxn . (a) A B C = C ( A B ) ? E se A C = C AeB C = C B? Justifique.